En la siguiente figura se muestra un cilindro en reposo sobre una áspera horizontal alfombra que se saca de debajo de ella con la aceleración de $a$ perpendicular al eje del cilindro. ¿Qué es el movimiento de la cilindro, suponiendo que no se resbale?
La única fuerza horizontal sobre el cilindro es la de fricción en $P$. Por lo tanto, tomemos los momentos acerca de la $P$. Las fuerzas de la gravedad y la reacción en la superficie de pasar a través del punto de $P$, como lo hace también la fuerza de fricción. También, sabemos* que:
$$\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{M}-m\mathbf{v}_P \times \mathbf{v}_O$$
Donde $\mathbf{L}$ - el momento angular del sistema, $\mathbf{M}$ - la red par externo en el sistema, $m$ - la masa del sistema, $\mathbf{v}_P$ - la velocidad de punto de $P$ (visto desde un sistema inercial - decir, la tierra) y $\mathbf{v}_O$ - la velocidad del centro de masa.
Debido a $\mathbf{v}_O\parallel \mathbf{v}_P$ tenemos $\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{M}$. Por lo que la red de par de torsión sobre $P$$0$. Por lo tanto:
$$\dot{\mathbf{L}}=0 \Rightarrow I_P \omega = \text{const} \Rightarrow \omega = \text{const}$$
lo cual es incorrecto. Sólo tomando los momentos acerca de la $O$ obtenemos $\omega \propto a$.
Por qué mi enfoque fue mal en el primer lugar?
*Deje $\mathbf{v}$ $\mathbf{p}=m \mathbb{v}$ ser la velocidad y el impulso de una partícula con respecto a un estacionario sistema inercial $S$, e $\mathbf{r}$ - el radio-vector de la partícula con respecto al movimiento de punto de $P$. El movimiento de $P$ puede ser uniforme o no uniforme (la aceleración). Supongamos $\mathbf{v}_P$ es la velocidad de $P$. El momento angular es $\mathbf{L}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}$. Tomando la derivada obtenemos $\dot{\mathbf{L}}=\dot{\mathbf{r}} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \dot{\mathbf{p}}$. Debido a $\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{v}-\mathbf{v}_P$ obtenemos $\dot{\mathbf{L}}=(\mathbf{v}-\mathbf{v}_P) \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \dot{\mathbf{p}}$. Sin embargo $\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{F}$ y por lo tanto obtenemos:
$$\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{M}-\mathbf{v}_P \times \mathbf{p}$$
Sin embargo, podemos expresar el impulso $\mathbf{p}$ del sistema en términos de $\mathbf{v}_O$ - la velocidad del centro de masa: $\mathbf{p}=m\mathbf{v}_O$. Por lo tanto: $$\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{M}-m\mathbf{v}_P \times \mathbf{v}_O$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usted puede tener más complicado el problema. Tomar el impulso definición en el centro de masa, diferenciar y compararlo con el que se aplica la carga a encontrar las ecuaciones de movimiento.
$$\requieren{cancel} \begin{align} \boldsymbol{p} & = m \boldsymbol{v}_O & \boldsymbol{L}_O & = \mathcal{I}_O \boldsymbol{\omega} \\ \boldsymbol{F}_{fric} & =\dot{\boldsymbol{p}} = m \dot{\boldsymbol{v}}_O & (\boldsymbol{r}_P-\boldsymbol{r}_O) \times \boldsymbol{F}_{fric}& = \dot{\boldsymbol{L}}_O = \mathcal{I}_O \dot{\boldsymbol{\omega}}+\cancel{\boldsymbol{\omega} \times \mathcal{I}_O \boldsymbol{\omega}} \\ F_{fric} & = m \dot{v} & R\; F_{fric} & = \mathtt{I}_O \dot{\omega} \end{align} $$
Ahora, para el no-slip condición
$$ \hat{\boldsymbol{i}} \cdot (\boldsymbol{v}_{rug} - \boldsymbol{v}_P) = 0$$ $$ \hat{\boldsymbol{i}} \cdot (\boldsymbol{v}_{rug} - \boldsymbol{v}_O+\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{r}_O-\boldsymbol{r}_P)) = 0$$ $$\begin{align} \omega &= \frac{v_{rug}-v}{R} & \dot{\omega} & = \frac{a-\dot{v}}{R} \end{align}$$
Ahora tienes tres ecuaciones con tres incógnitas $F_{fric}$, $\dot{v}$ y $\dot{\omega}$:
$$\begin{align} F_{fric} & = m \dot{v} & R\;F_{fric} &= \mathtt{I}_O \dot{\omega} & \dot{\omega} & = \frac{a-\dot{v}}{R} \end{align} $$
