Laurent expansión de la serie de $f(z)=\frac{1}{(z-1)^2(z+1)^2}$

Question

Deje $f(z)=\frac{1}{(z-1)^2(z+1)^2}$. Mientras tratando de ampliar esta función a la de la serie de Laurent, convergentes en $P(0,1,2):=\lbrace z\in\mathbb{C}:1<|z|<2\rbrace$, un par de preguntas apareció en mi mente.

1. Podemos escribir $f(z)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{(z-1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\right)$. Ambas funciones dentro de los paréntesis son complejos derivados de las funciones que han inmediata Laurent expansión de la serie: $\frac{1}{1-z}$$-\frac{1}{z+1}$. Ahora, podemos diferenciar los obtenidos de la serie término a término para obtener la deseada expansión de $f$? Si es así, es porque el Laurent de la serie es convergente casi uniformemente?

2. Podría alguien compruebe que la serie de Laurent $f$ es convergente en $P(0,1,\infty)$?

Answer 1

Sugerencia:

$$z\in P(0,1,2)\Longleftrightarrow \frac{1}{2}<\frac{1}{|z|}<1\Longleftrightarrow z\in P\left(0,\frac{1}{2},1\right)$$

así que, usando el bien conocido de la evolución

$$\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+\ldots\;\;,\;\;\frac{1}{1+z}=1-z+z^2-z^3+\ldots$$

tenemos

$$\frac{1}{(z-1)^2(z+1)^2}=\frac{1}{z^4}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{z}\right)^2}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{z}\right)^2}=$$

$$=\frac{1}{z^4}\left(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\ldots\right)^2\left(1-\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}-\ldots\right)^2=\ldots$$

Se puede tomar desde aquí?

Agregado: Un enfoque diferente:

$$\frac{1}{(z-1)^2(z+1)^2}=\frac{1}{(z^2-1)^2}=\frac{1}{z^4}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{z^2}\right)^2}=\frac{1}{z^4}\left(1+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^4}+\ldots\right)^2=$$

$$=\frac{1}{z^4}\left(1+\frac{2}{z^2}+\frac{3}{z^4}+\frac{4}{z^6}+\ldots+\frac{n}{z^{2n-2}}+\ldots\right)=\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{z^{2n+2}}$$

Marque esta bien, por favor.

Answer 2

Sí, está bien para diferenciar una de la serie de Laurent termwise, ya que converge localmente uniformemente sobre su anillo de convergencia (y la termwise diferenciada de la serie es un nuevo Laurent de la serie con el mismo anillo de convergencia).

2) Sí, ya que la única polos de $f$$z = \pm 1$. (I. e., $f$ es holomorphic en cada anillo $1 < |z| < r$$r > 1$, y en la que el anillo que usted conseguirá un convergentes Laurent de la serie).