Cómo lidiar con Homeomorphisms?

Question

Tengo una duda que puede ser demasiado general, no sé, lo siento si este no es un buen lugar para preguntar. También he parecen muchos otras personas con el mismo problema que tengo, así que creo que si esta pregunta se ajusta a este sitio, que va a ayudar a otras personas. He estado estudiando el análisis multivariable, la métrica de los espacios y colectores, y en todos ellos me encuentro con el mismo problema: a pesar de que yo ya había entendido las principales definiciones y los resultados me encuentro un poco perdido cuando se trata de construir y probar homeomorphisms.

Por ejemplo, en álgebra lineal cuando se trata de demostrar isomorfismo de espacios vectoriales conozco a un "procedimiento", tengo una línea de pensamiento que aunque puede ser difícil en algunos casos, dar lugar a lo que yo estaba buscando. Un punto de este "procedimiento", tenemos ahora una vez que tenemos el mapa es suficiente para mostrar que es lineal (una simple comprobación de una propiedad), muestran que el kernel es solo el vector nulo y para mostrar surjectivity nos fijamos en las dimensiones.

Sin embargo, cuando se trata de construir y probar homeomorphism parece que "la única manera es hacer una buena conjetura", sin necesidad de algún procedimiento y algo como eso. Por ejemplo, no es intuitivo, al menos para mí que para mostrar que el open de bola es homeomórficos a $\mathbb{R}^n$ tendríamos que tomar el mapa de $f(x) = x/(1+|x|)$. Es sólo que yo vistazo a este mapa y pienso: "yo nunca habría pensado en ello".

De todos modos, si encontrar el mapa parece un problema, demostrando que el mapa de hecho es homeomorphism parece incluso peor, porque la forma más común: encontrar una $\epsilon$ también parece que dependiendo de la "buena conjeturas". Incluso para una simple función en la línea real miro el $\epsilon$'s que por lo general se utilizan para probar la continuidad y pienso: "yo nunca habría pensado en tal cosa".

Mi pregunta es: hay una forma sistemática de atacar esos problemas? Existe un procedimiento para encontrar y probar hoemorphisms como hay en álgebra lineal para encontrar y probar isomorphisms? Hay una manera de hacerlo menos dependiente de conjeturas? En la línea real de la gente a menudo atraen a los pequeños intervalos, sin embargo, este tipo de cosas no parece demasiado buena, ya que no tiene este "gráfica de recursos" para encontrar una forma de demostrar homeomorphisms entre los mayores dimensiones de los colectores. Donde puedo realmente aprender esas cosas?

Mi interés es realmente el estudio de los colectores, y estoy trabajando con Spivak "Una Completa Introducción a la Geometría Diferencial Vol. 1", sin embargo yo estoy sintiendo la necesidad de entender mejor estas preguntas acerca de cómo se construye y cómo probar homeomorphisms, ya que todas las cartas de los colectores se deben construir como homeomorphisms.

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Aquí está una manera de pensar de la homeomorphism de $\mathbb{R}^n$ a la unidad de la bola. Creo que de la reducción del espacio radial, de modo que un radio de infinito se convierte en un radio de uno. Es decir, queremos mantener la dirección, pero el colapso de la radio. ¿Cómo colapso $[0,\infty)$$[0,1)$? Bien, una manera de conseguir un pequeño conjunto de un gran conjunto es invertir números, cerca del infinito. Al mismo tiempo, usted no quiere invertir los números de cerca de cero. Así que lo primero que se puede traducir lejos de $0$, la asignación de $[0,\infty)$$[1,\infty)$. Entonces, la inversión de $[1,\infty)$ nos da $(0,1]$. Ahora el mapa $s\mapsto 1-s$ mapas de este a $[0,1)$. En conclusión, $r\mapsto (1-\frac{1}{1+r})$, o a la simplificación, $r\mapsto \frac{r}{1+r}$ es un mapa de $[0,\infty)$ $[0,1)$que envía a $0$ $0$y se derrumba $\infty$$1$. Piense en esto como tomar una radio en $[0,\infty)$ y escupir una "nueva" radio en $[0,1)$. Llegamos a esta función por jugar, pero si nos fijamos en ello, tiene sentido. Podemos reducir el radio por un factor que crece al mismo ritmo que el de la radio, de modo que en el límite de su relación enfoques $1$. De hecho, para cualquier $c>0$, $r\mapsto \frac{r}{c+r}$ habría funcionado tan bien. Si usted desea ejercer probando los mapas son homeomorphisms, puede intentar encontrar una continua inversa.

Pero vamos a usar esto para encontrar un homeomorphism de $\mathbb{R}^n$ a la unidad de la bola. Bueno, si $x$ es un vector en $\mathbb{R}^n$, $\frac{x}{|x|}$ es un vector unitario que apunta en la dirección de $x$ (suponiendo por el momento $x$ es distinto de cero así que podemos dividir por su longitud). Ahora todo lo que tienes que hacer es multiplicar por el "nuevo" de la radio, que es, por $\frac{|x|}{1+|x|}$. En conclusión, nuestro mapa es $x\mapsto x\cdot \frac{\frac{|x|}{1+|x|}}{|x|}$. Simplificando, se obtiene $x\mapsto \frac{x}{1+|x|}$. De nuevo, esta respuesta tiene sentido por la misma razón que antes: $x$ y reducir por un factor que crece al mismo ritmo que el de su longitud. Usted puede describir la inversa de este mapa por un proceso similar. Sé que podría haber derivado de esto mucho más rápidamente, pero yo sólo quería mostrar cómo usted puede ir sobre atacar el problema si sólo tenía una vaga intuición.

Edit: tenga en cuenta que para probar el mapa de arriba es continuo, no es necesario el uso de un $\epsilon$-$\delta$ argumento. Si usted tiene un mapa de $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ $f(x)=(f_1(x),\dots,f_m(x))$ y desea demostrar que es continua, es suficiente para mostrar cada una de las $f_i$ es continua. En mostrar el valor real de las funciones son continuas, la idea es que cualquier función que es una composición, suma, producto, o relación de continua mapas va a terminar siendo continua. En el ejemplo anterior, las funciones de los componentes del se $f_i(x)=\frac{x_i}{1+\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}}$. Dado que la función constante $1$ es continua, proyectando en el $i$th de coordenadas es continua, el cuadrado es continua, y tomando el squareroot es continua, esta función es continua.

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Sólo voy a dar un ejemplo más, que es la proyección estereográfica.

Queremos mostrar que una esfera menos un punto es homeomórficos a $\mathbb{R}^2$. Imagina una esfera sentado en el espacio, por lo que el ecuador está en el $x$-$y$ plano. La idea de la proyección estereográfica es que, para cualquier punto de $(x,y,z)$ sobre la esfera (otros que el polo norte), podemos dibujar una línea desde el polo norte y a través de $(x,y,z)$ hasta que llegue el $x$-$y$ plano. Por lo tanto, podemos asociar a cada punto de la esfera menos el polo norte de un punto en el plano. Usted puede ver que hay una relación inversa: a partir de un punto en el plano, dibujar una línea en el polo norte y a ver donde se cruza la esfera. Estos dos procesos son intuitivamente continuo: si se agitan un punto, sólo un poco, su proyección también se movió solo un poco.

Así tenemos (intuitivamente) convencido de esta asignación es un homeomorphism. Ahora encontrar la fórmula que se acaba de álgebra: la línea entre el polo norte y $(x,y,z)$ puede ser representado en forma paramétrica por $(0,0,1)+t(x,y,z-1)$. Esta línea se cruza con el $x$-$y$ plano de la $z$ coordenada es cero, es decir, cuando se $1+t(z-1)=0$, lo $t=\frac{-1}{z-1}=\frac{1}{1-z}$. Conectar este valor de $t$, vemos que este punto es $(\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z},0)$. Para un mapa a $\mathbb{R}^2$, omitimos el $z$ coordinar: $(x,y,z)\mapsto (\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z})$. Ahora puedes mostrar este mapa es continua por un análisis similar que el anterior. Y usted puede encontrar la inversa de mapa y de demostrar que es continua del mismo modo.

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En definitiva, ayuda a la primera visualizar un homeomorphism como una transformación geométrica y, a continuación, para formalizar el uso de expresiones algebraicas. Y como regla general, la mayoría de las funciones que pueden ser descritos mediante expresiones algebraicas (o incluso las expresiones analíticas que implican $sin$, etc.) son continuas.

Answer 2

Otra manera fácil de construir homeomorphisms es utilizar el hecho de que cualquier mapa de un espacio compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado. Esto implica que cualquier continua bijection de un espacio compacto de un espacio de Hausdorff es un homeomorphism. Esto ayuda mucho, ya que la mayoría de bijections usted puede escribir son continuas.

Esto no ayuda a su ejemplo específico, sin embargo.