Es $M=\bigcap_G M[G]$?

Question

Suponga que $M$ es una contables modelo transitivo de ZFC y $P\in M$ es forzar un concepto. Denotar $N=\bigcap_G M[G]$ la intersección de todas las extensiones genéricas de $M$ donde $G$ corre a través de todas las $P$-de los filtros genéricos más de $M$. Es entonces $M=N$?

Claramente tenemos $M\subseteq N$. Para demostrar $N\subseteq M$ debemos encontrar, por cualquier filtro genérico $G$ y cualquier conjunto $x\in M[G]\setminus M$, un filtro genérico $H$ tal que $x\notin M[H]$. Es allí una manera de cómo definir un filtro genérico, de modo que la correspondiente extensión genérica, evita algunas conjunto específico?

Answer 1

Esto es cierto, es decir,$\bigcap_{G} M[G] = M$. Para ver esta primero, considere el siguiente lema:

Lema. Supongamos $\tau_1,\tau_2$ $P$ nombres en $M$ de los subconjuntos de a $M$ y supongamos que no es$(p,q) \in P \times P$, de modo que $(p,q) \Vdash \tau_1[\dot G] = \tau_2[\dot K]$, donde $\dot G$, $\dot K$ son tales que $ G \times K$ $P \times P$ genérico. Entonces no es$A \in M$, de modo que $p \Vdash \tau_1 = A$.

Prueba. Supongamos $p$ no decidir por todos los $x \in M$ si $x \in \tau_1$ o no (else $ p \Vdash \{ x \in M : p \Vdash x \in \tau_1 \} = \tau_1$ y este conjunto es en $M$). Esto significa que hay algunos $x \in M$$r,r' \leq p $, de modo que $r \Vdash x \in \tau_1$$r' \Vdash x \notin \tau_1$. Ahora extender $q$ $s$a decidir si $x \in \tau_2$ o no. Pero, a continuación, cualquiera de las $(r,s)$ o $(r',s)$ contradice que $(p,q) \Vdash \tau_1[\dot G] = \tau_2[\dot K]$.

Ahora me reclama que siempre $G \times K$ $P \times P$ genérico más de $M$,$M[G] \cap M[K] = M$. Voy a probar esto por inducción sobre el rango de un conjunto en $M[G] \cap M[K]$:

Supongamos que sabemos que para todos los conjuntos de $x$ de la fila $<\alpha$ que $x \in M[G] \cap M[K]$ implica $x \in M$. Ahora supongamos $A$ es un conjunto en $M[G] \cap M[K]$ de la fila $\alpha$ (es decir, sus elementos tienen rango $<\alpha$ y son, por tanto, en $M$). A continuación, se $P$ nombres de $\tau_1, \tau_2$, de modo que $\tau_1[G] = \tau_2[K] = A$. Pero esto es forzado por algunos $(p,q) \in P \times P$, es decir,$(p,q) \Vdash \tau_1[G] = \tau_2[K] \subseteq M_\alpha$. Pero por el lema anterior, esto significa que $A \in M$.

Edit: he cambiado la prueba un poco y creo que es más claro ahora. También es más agradable, ya que no requieren de elección.