$(5 + \sqrt{2})(2-\sqrt{2})=(11-7\sqrt{2})(2+\sqrt{2})$ - Única factorización?

Question

Pregunta Personal : sabemos que $5 + \sqrt{2}$, $2-\sqrt{2}$, $11-7\sqrt{2}$ y $2+\sqrt{2}$ son irreductible en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ y que $$(5 + \sqrt{2})(2-\sqrt{2})=(11-7\sqrt{2})(2+\sqrt{2}).$$ Why this fact doesn't contradict the unique factorization in $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$?

Es a causa de $(5 + \sqrt{2})(2-\sqrt{2})=(5 + \sqrt{2})(2+\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=(11 -7\sqrt{2})(2+\sqrt{2})$?

Es que nadie me podía dar una completa explicación en "Respuesta a la pregunta"?

Answer 1

Esto es debido a que la factorización es única hasta unidades y $\Bbb Z[\sqrt 2]$ dispone de unidades, por ejemplo,$(\sqrt 2+1)$.

En $\Bbb Z$, tenías $15 = 3 \times 5 = (-3) \times (-5)$. Esto no se contradice con el único teorema de factorización, ya sea porque cada factor de factorización difiere de un factor en el otro por una unidad (aquí, $-1$)

En su caso, usted puede decir mirando a las normas, que $(5+\sqrt 2)$ $(11-7\sqrt 2)$ pueden ser asociados, y podemos comprobar fácilmente esta :

$(5+\sqrt 2)/(11-7\sqrt 2) = (5+\sqrt 2)(11+7\sqrt 2)/23 = (69+46\sqrt 2)/23 = 3+2\sqrt 2$.

Mientras tanto, $(2-\sqrt 2)/(2+\sqrt 2) = (2-\sqrt 2)^2/2 = (6-4\sqrt 2)/2 = 3-2\sqrt 2$.

Y tenemos $(3+2\sqrt 2)(3-2\sqrt 2) = 1$ así que en realidad, se pasa de una factorización a la otra, tomando un $(3\pm 2\sqrt 2)$ factor de una irreductible, y dando a la otra :

$(5+2\sqrt 2)(2-\sqrt 2) = (5+2\sqrt 2)(3-2\sqrt 2)(2+\sqrt 2) = (11-7\sqrt 2)(2+\sqrt 2)$

En $\Bbb Z$ sólo hay $2$ unidades, por lo que sólo puede decidir sólo uso positivo de los representantes de los números primos y poner un $(-1)$ a los lados, y luego inmediatamente se puede saber si dos factorisations son diferentes.
En $\Bbb Z[\sqrt 2]$ no hay realmente una buena elección de los representantes de los hechos.

Answer 2

Única factorización sólo significa única factorización hasta unidades. Las unidades en ${\mathbb Z}[\sqrt{2}]$ son los elementos de la forma$(1 + \sqrt{2})^n$$n \in {\mathbb Z}$.

Para sus dos factorizations:

$$5 + \sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2}) (11 - 7 \sqrt{2}) = (1 + \sqrt{2})^2 (11 - 7 \sqrt{2})$$

así se diferencian en una unidad.