Lo que demuestra que una cicloides resuelve el Problema Tautochrone

Question

Me he quedado atascado en un problema de mi libro de texto de cálculo, mientras que el intento de algunos de revisión.

El problema: Me han dicho que las siguientes ecuaciones paramétricas describir un arco de un cicloides que es la solución a la Tautochrone Problema, es decir, que el tiempo que toma para que un objeto para llegar a la parte inferior de la curva es independiente de los objetos de punto de partida. (Siempre y cuando no sacamos a la fricción en la imagen)

$$x(\theta) = a(\theta - Sin(\theta));\\ y(\theta) = a(Cos(\theta)-1).$$

La pregunta se le pide que compruebe que la curva es una solución a la Tautochrone Problema y proporciona las siguientes dos sugerencias.

1. La velocidad de un objeto (v) a $\theta$, que comenzó a partir de $\theta_{0}$, está dada por $v = \sqrt{2g(y(\theta_{0})-y(\theta))}$
2. El tiempo de tránsito a la parte inferior de la curva (T) está dada por la siguiente integral,

$$T = \displaystyle\int_{\theta_{0}}^\pi \frac{1}{v} ds$$

Donde 's' es el parámetro de longitud de arco de la curva.

Mi intento: Así que, partiendo de la información anterior, y que esta cuestión es, en un capítulo sobre curvas paramétricas, parece que la única cosa a hacer es determinar una relación entre el arco de longitud de parámetro y el parámetro dado en las ecuaciones proporcionadas. Así que empieza por escribir el vector de posición de cualquier punto sobre la curva, $\boldsymbol{r}(\theta) = \left(x(t), y(t)\right)$

El arco de longitud (s) de la curva, en el intervalo de $\left[\theta_{0}, \theta\right]$, está dada por la integral.

$$\begin{align} s & = \int_{\theta_{0}}^{\theta} \ \left|\frac{d \ \boldsymbol{r}}{d \ \tau}\right|d \ \tau \\ \\ \therefore \frac{d \ s}{d \ \theta} & = \left|\frac{d \ \boldsymbol{r}}{d \ \theta}\right| \end{align}$$

Volviendo de nuevo a nuestros integral para el tiempo de Tránsito, utilizamos la de arriba para cambiar la variable de integración.

$$T = \displaystyle\int_{\theta_{0}}^{\pi} \frac{1}{v}\frac{ds}{d\theta}d\theta$$

$$\therefore T = \displaystyle\int_{\theta_{0}}^{\pi} \frac{1}{v}\left|\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\right|d\theta$$

Problema es que tengo este horrible integral y no estoy seguro de que incluso podría mostrar lo he configurado para mostrar. O en otras palabras, estoy bastante seguro de que me haya ido mal en algún lugar, o tal vez sólo he llanura ido por el camino equivocado por completo.

$$T = \sqrt{\frac{1}{ga}}\displaystyle\int_{\theta_{0}}^{\pi} \frac{2\sin\left(\theta/2\right)}{\left(2\cos(\theta_{0}) - 2\cos(\theta)\right)^{1/2}}\ d\theta$$

Edit: por Lo que resulta de la integral es totalmente solucionable con un simple trigonometría identidad que no tenía ni idea de...

Answer 1

Utilice el hecho de que: $$\cos \theta_0 -\cos \theta = \cos^2 \frac{\theta_0}{2} -\cos^2 \frac{\theta}{2}.$$ Y cambiar la variable a: $$u =\frac{ \cos \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta_0}{2}}.$$ Usted recibirá una muy fácil integral.