Sé que yo podría expresar
$$5^{4x+1} = 7^{x+2}$$
como $(4x+1)\log 5 = (x+2)\log 7$, pero quería probar algo sacado de la manga. He aquí lo que mi proceso de pensamiento fue.
$$7^\alpha = 5$$
$$\alpha = \frac{\log 5}{\log 7}$$
Desde ambas bases puede ser expresado como $5$, podemos equiparar sus exponentes.
$$\alpha x + 2\alpha = 4x+1$$
$$x\ (4 - \alpha) = 1 - 2\alpha$$
$$x = \frac {1-2\alpha}{4-\alpha}$$
$$x = \frac{1 - 2\frac{\log 5}{\log 7}}{4 - \frac{\log 5}{\log 7}}$$
La aproximación de $\frac{\log 5}{\log 7}$ sobre $0.827$, $x$ es aproximadamente:
$$x = 0.478$$
Sin embargo, esto no es cierto. ¿Qué hice mal, si mi lógica es el sonido?
