Estudiando los extremos de $f(x,y) = x^4 + y^4 -2(x-y)^2$

Question

Sea $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(x,y) = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2$. Estudia sus extremos.

Entonces aquí estaba mi enfoque.

Tenemos $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 4(x^3 -x + y),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)= 4(y^3 -y + x) $$ Tengo que encontrar $(x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2$ tal que $ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)= \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) = 0 $

Así que tenemos:

$$\left\{\begin{matrix} x(x^2-1)+ y =0\\ y(y^2 -1) + x =0 \end{matrix}\right. $$ Entonces tenemos $x-x^3 = y$, y reemplazando $y$ con $x-x^3$ en la segunda línea, obtenemos:

$$ y(y^2 -1) + x =0 = (x-x^3)((x-x^3)^2 -1)+x =x^5(-x^4 -x^2 -3) = 0 $$ Y la única solución para esto es $x=0$. Como $y = x^3 -x$ inmediatamente tenemos $y=0$.

Entonces el único extremo posible está en $(0,0)$. Ahora, necesito estudiar su matriz Hessiana.

Tenemos: $$\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}(x,y) = 12x^2 -4 , \frac{\partial ^2f}{\partial y^2}(x,y) = 12y^2 -4, \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) = 4$$

Entonces $$H(x,y) \begin{bmatrix} 12x^2 -4&4 \\ 4& 12y^2 -4 \end{bmatrix} $$

En $(x,y)=(0,0)$ tenemos $$H(0,0) \begin{bmatrix} -4&4 \\ 4& -4 \end{bmatrix} $$

Como $\text{det}(H(0,0)) = 0$ y $\text{Tr}(H(0,0)) = -8$ los autovalores son $0$ y $-8$. Como tiene un autovalor de $0$, necesito estudiar la diferencial de un orden superior. Pero aquí tengo una falta de comprensión. ¿Qué debo hacer exactamente? ¿Debo calcular las derivadas parciales de tercer orden y luego reestudiar su matriz Hessiana?

Answer 1

Para resolver el sistema puedes sumar: $$\begin{cases} x^3-x+y=0 \\ y^3-y+x=0 \end{cases} \Rightarrow x^3+y^3=0 \Rightarrow x=-y \Rightarrow \\ x^3-x-x=0 \Rightarrow x(x^2-2)=0 \Rightarrow x=0;\pm \sqrt{2}.$$

Answer 2

La matriz $H(0,0)$ es semidefinida negativa ya que

$$\left\langle \begin{bmatrix}-4 & 4 \\ 4 & -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}\right\rangle = -4(x-y)^2 \le 0$$

con igualdad si y solo si $x = y$.

Esta es una condición necesaria para un máximo local, pero no suficiente. Por lo tanto, la prueba es inconclusa.

De hecho, $(0,0)$ es un punto de silla. Si nos acercamos a $(0,0)$ a lo largo de $x = y$, entonces tenemos

$$f(x,x) = 2x^4 > 0$$

Sin embargo, si nos acercamos a lo largo de $x = -y$, entonces

$$f(x,-x) = 2x^4-8x^2 < 0$$

cerca de $(0,0)$.

Answer 3

Como se menciona a continuación, $(0,0)$ es un punto de silla, pero esta función aún tiene extremos: olvidaste los extremos (posibles) en $x=(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ y $y=(\sqrt{2},-\sqrt{2})$. Insertarlos en el Hessiano $H$ da una matriz con determinante positivo. así que obtienes dos mínimos en $x$ y $y.