¿Cuál será el pdf de$X+Y$ si$X$ y$Y$ son iid de Cauchy?

Question

Supongamos $X$ e $Y$ seguir Cauchy de distribución independientes el uno del otro. ¿Cuál será el pdf de $X+Y$?

Lo tengo usando el teorema de convolución es que la densidad de $g$ de $X+Y$ es $:$

$$g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y) f(x-y)\ \mathrm {dy}$$ where $f$ is the density of the Cauchy distribution given by $f(x)=\frac {1} {\pi ({1+ x^2})},x \in \Bbb R$. Then the whole integration becomes $$\frac {1} {\pi^2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac {\mathrm {dy}} {(1+y^2)(1+(x-y)^2)}.$$ Ahora, ¿cómo puedo resolver esta integral? Por favor me ayude en este sentido.

Muchas gracias.

Answer 1

Usted puede tratar parcial fracción de descomposición:

\begin{align}\frac1{(1+y^2)(1+(x-y)^2)} &= \frac{x+2y}{x(x^2+4)(1+y^2)} + \frac{3x-2y}{x(x^2+4)(1+(x-y)^2)} \\ &= \frac{1}{(x^2+4)(1+y^2)}+ \frac{2y}{x(x^2+4)(1+y^2)} + \frac{2(x-y)}{x(x^2+4)(1+(x-y)^2)} + \frac{1}{(x^2+4)(1+(x-y)^2)}\\ &= \frac1{x^2+4}\left(\frac1{1+y^2} + \frac1{1+(x-y)^2}\right) + \frac1{x(x^2+4)}\left(\frac{y}{1+y^2} + \frac{x-y}{1+(x-y)^2}\right) \end{align} así tenemos \begin{align} \frac1{\pi^2}\int_{-\infty}^\infty \frac{dy}{(1+y^2)(1+(x-y)^2)} &= \frac1{\pi^2(x^2+4)}\left[\int_{-\infty}^\infty\left(\frac1{1+y^2} + \frac1{1+(x-y)^2}\right)dy + \frac1x\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{y}{1+y^2} + \frac{2(x-y)}{1+(x-y)^2}\right)dy \right]\\ &= \frac1{\pi^2(x^2+4)}\left[\Big(\arctan(1+y^2) + \arctan(1+(x-y)^2)\Big)\Big|_{-\infty}^\infty + \frac1x\Big(\ln(1+y^2) - \ln(1+(x-y)^2)\Big)\Big|_{-\infty}^\infty \right]\\ &= \frac1{\pi^2(x^2+4)}\left[2\pi + \frac2x \lim_{y \to \infty} \ln \left(\frac{1+y^2}{1+(x-y)^2}\right)\right]\\ &= \frac{2}{\pi(x^2+4)} \end{align}

Answer 2

¿Qué acerca del uso de funciones características? Deje $\phi$ ser la función característica de una distribución de Cauchy. Sabemos que $$\phi(t) =\frac 1\pi\int_\mathbb{R} \frac{e^{itx}} {1+x^2}\, dx$$ Tales integrales son muchas veces resuelto en este sitio, por ejemplo aquí, el resultado es $$\phi(t) = e^{-|t|} $$ Por lo que la función característica de a$X+Y$ es $\phi$ cuadrado, debido a la independencia de $X$ e $Y$. Llegamos a la conclusión de $$\phi_{X+Y} (t) =\phi(t) \phi(t) =e^{-2|t|}=e^{-|2t|}$$ De hecho, también podemos concluir de esto que el $(X+Y) /2$ es de Cauchy distribuido.