Máximo de $ab+2bc+3ca$ $a^4+b^4+c^4=1$

Question

Deje $a,b,c\in \mathbb R^+$ con $a^4+b^4+c^4=1$. ¿Cuál es el valor máximo $ab+2bc+3ca$ puede tomar?
He intentado utilizar de Cauchy-Schwarz varias maneras diferentes y la mejor cota superior de la que me dieron era la $\sqrt{14}$, pero nunca fue fuerte.
Numérico de búsqueda sugiere que el máximo se produce en alrededor de $a=0.763316$, $b=0.697312$, $c=0.80698$ con $ab+2bc+3ca=3.505647$, a pesar de que no podía encontrar ningún valiosa relación entre estos números y los racionales.

Answer 1

Basta ver no negativos variables.

Deje $f(a,b,c)=ab+2bc+3ac+\lambda(a^4+b^4+c^4-1)$ e $a=xb$.

Por lo tanto, en el punto crítico que hemos $$b+2c+4\lambda a^3=a+2c+4\lambda b^3=2b+3a+4\lambda c^3=0,$$ que da $$\frac{b+3c}{a^3}=\frac{a+2c}{b^3}=\frac{2b+3a}{c^3}.$$ A partir de la primera ecuación obtenemos: $$c=\frac{a^4-b^4}{3b^3-2a^3},$$ , que después de la sustitución en el segundo da $$\frac{(x^4-1)^3}{(3-2x^3)^3}\left(x+\frac{2(x^4-1)}{3-2x^3}\right)=2+3x$$o $$45x^{13}+34x^{12}-288x^{10}-183x^9-6x^8+648x^7+432x^6-9x^5-642x^4-432x^3+246x+160=0,$$ que da $x=1.09465...$ o $x=1.26369...$ y podemos demostrar que $x=1.09465...$ da un valor máximo.