Simple analogía para explicar $\sum_{n=1}^\infty n = -1/12$

Question

Estoy buscando una versión simplificada de la analogía para explicar por qué la fórmula siguiente, en realidad, no significa lo que parece significar:

$\sum_{n=1}^\infty n = -\frac{1}{12}$

Me hacen esta pregunta todo el tiempo de los estudiantes de la escuela secundaria, probablemente porque fue popularizado por Numberphile en Youtube. (Ver video aquí y ver asociado post aquí)

Desde que el concepto de poder de expansión de la serie es difícil para un montón de estudiantes de la escuela secundaria para obtener (por no hablar de la zeta o de la función de continuación analítica), me gustaría darles un poco de forma accesible, para comprender cómo esa signo igual no está realmente haciendo lo que normalmente se piensa que es.

Estoy parcialmente en deuda con la respuesta de user3002473 aquí.

Por favor, hágamelo saber si mi comprensión del problema es correcta y si mi analogía tiene sentido y es apt:

• Mi comprensión del problema:

La función zeta existe en todas las regiones en el plano complejo, pero su energía de la serie de la representación es válida sólo en una parte del plano.

La ecuación de $\sum_{n=1}^\infty n = -\frac{1}{12}$ es por tanto el resultado de equiparar la continuación analítica de la función" en un punto fuera de la alimentación de la serie representación de dominio con el valor numérico de la potencia de la serie calculada en ese punto.

En otras palabras, una a cada lado del signo igual es una representación válida de la función zeta, pero ni la representación es en realidad tratando de comunicar el valor numérico de la función en ese punto.

• Mi analogía:

Considere la posibilidad de un no-línea vertical en el plano con pendiente, $2$, y el intercepto en y, $3$. Podemos describir esta línea como una función entre dos conjuntos de números, $f:X\rightarrow Y$

Claramente, podemos ver que el gráfico es una representación visual de la función, pero también podemos representar como una ecuación en la forma pendiente-intersección: $f(x) = 2x+3$

Ahora, supongamos que yo quería representar a esta línea como una función con $x$ en el denominador. Yo podría hacer así:

$g(x) = \frac{2x^2+3x}{x}$

Esta es claramente una representación válida de mi función lineal, pero se rompe en el punto de $x=0$, así:

$g(0) = \frac{2\times 0^2+3\times 0}{0} = \frac{0}{0}$

Como todos sabemos, $\frac{0}{0}$ es "indefinido".

Punto clave: La función original que existe en $x=0$, pero la representación específica $g(x)$ falla en ese punto.

Ahora, yo podría decir, "todos sabemos que $\frac{0}{0}$ es indefinido. Pero para esta función, tenemos suficiente información para 'definir'."

Es decir, sabemos que en la función original, la de entrada de $x=0$ está asociado únicamente con la salida de $3$.

Así, desde la $g(x)$ es una representación de nuestra función, podríamos (fuertemente agitando nuestras manos) dicen que la salida de $g(0) = 3$

Pero entonces, nosotros sólo hemos "probado": $3 = \frac{0}{0}$

No, realmente no. Todo lo que hicimos fue tomar equiparar dos representaciones distintas, cada una de las válidas a través de diferentes dominios, y les corresponden en un punto que no tienen en común.

Es esta una manera razonablemente precisa de la analogía con el problema de las $\sum_{n=1}^\infty n = -\frac{1}{12}$ ?

Answer 1

Usted puede hacer todo tipo de cosas como que, mediante la conexión de los números de una serie fuera de su radio de convergencia. Usted puede tomar la serie de Taylor de 1/(1-x) y plug -1 en & 'demostrar' que $$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k=1/2 $$ (!) Todo sólo hace hincapié en la importancia de mantener un seguimiento de la convergencia, la verdad.

El ejemplo particular que usted cita es el resultado de la continuación analítica de la de Riemann zeta función más allá del dominio en el que su representación como $$\sum_{k=0}^\infty {1\over{k^z}}$$ es válido. Cuando uno presenta un caso patológico como el que cité al comienzo de la pregunta, apenas está teniendo un resultado producido por una nueva receta y proyectándolo por pura fuerza en el antiguo, que nadie nunca hizo decir (al menos nadie que entienda de la materia correctamente) era válida en el dominio inwhich la nueva que se ha producido su resultado. Y, sin embargo, hay una continuidad entre las nuevas y las viejas recetas: empalmar a la perfección.

Convergencia y continuación analítica de hecho son profundas cuestiones ... y, sin embargo, en última instancia, todo lo que están haciendo es contar!