Nonisomorphism de números verdaderos y reales sin 0 (el único símbolo es la < símbolo)

Question

¿ <span class="math-container">$(\mathbb{R}, Y <span class="math-container">$({ x \in \mathbb{R} | x \neq 0}, no isomorfos?</span></span>

Mi enfoque es asumir que existe un isomorfismo e intentar derivar una contradicción al mostrar que no existe una fórmula que satisface la primera estructura, pero el segundo no. Estoy teniendo problemas para encontrar uno.

Answer 1

Su idea es buena. De hecho, dos isomorfo estructuras de satisfacer las mismas fórmulas. Pero atención, el recíproco no es cierto. Por ejemplo, si se cubriera la noción de ida y vuelta, usted puede han demostrado que la teoría de la densa lineal órdenes sin extremidades es completa. Ambos $(\mathbb R,<)$ e $(\mathbb R\backslash\{0\},<)$ son tales órdenes, por lo que son elementarily equivalente, y por lo tanto satisfacer las mismas fórmulas.

Entonces, ¿cómo puede usted demostrar que no son isomorfos? Demostrando que no satisfacen las mismas propiedades que no se expresa necesariamente en primer orden la lógica. Por ejemplo, por las mismas razones antes mencionadas, $(\mathbb Q,<)$ e $(\mathbb R,<)$ son tanto elementarily equivalente, sin embargo, son claramente no isomorfos porque $\mathbb Q$ es contable, pero no $\mathbb R$. No se puede decir en el primer orden de la lógica con el lenguaje de $\{<\}$ que es un modelo contable o no.

Lo mismo va para $(\mathbb R,<)$ e $(\mathbb R\backslash\{0\}$,<). Uno de ellos satisface la menor cota superior de la propiedad, pero no de la otra. Esto muestra que ellos no son isomorfos.

Leo163 comentario del da otra prueba. La topología usual en $\mathbb R$ coincide con su orden de la topología, y lo mismo va para las $\mathbb R\backslash\{0\}$. La forma en que esta topología se define, se puede ver que si dos totalmente conjuntos ordenados son isomorfos (como conjuntos ordenados), a continuación, que están homeomórficos (como espacios topológicos, donde la topología de cada uno es el fin de la topología). Por lo tanto, si $(\mathbb R,<)$ e $(\mathbb R\backslash\{0\},<)$ fueron isomorfo, $\mathbb R$ sería homeomórficos a $\mathbb R\backslash\{0\}$, pero uno se conecta y la otra no.