GACION topológica entre dos días mapa y tienda

Question

Para tratar de demostrar que la tienda de campaña mapa $$T(x)= \begin{cases} 2x &\text{ if } x\in[0,\frac{1}{2}]\\ 2-2x &\text{ if } x\in[\frac{1}{2},1] \end{casos} $$ es ergodic, ya he demostrado que el diádica mapa (período doble de mapa) dado por $E(x)=2x$ mod $1$ es ergodic mediante una transformada de Fourier de $f$ y la comparación de los coeficientes para demostrar que cualquier medibles $f:X\to\mathbb{R}$ con $\ f \circ E = f$ en casi todas partes implica $f$ es constante en casi todas partes.

De todos modos, para mostrar que la tienda de campaña mapa es ergodic, traté de conjugación topológica con el diádica mapa (que es ergodic); he hecho lo siguiente:

Lema. La tienda del mapa de $T$ es topológicamente semi-conjugado a la diádica mapa de $E(x)=2x$ mod 1.

Prueba. Deje $E: [0,1] \to [0,1]$ ser el diádica mapa de $E(x) = 2x$ mod 1. Deje $T$ ser la tienda del mapa como antes.

Deje $\varphi: [0,1] \to [0,1]$ también ser la tienda del mapa, el mismo que $T$; es decir, $\varphi\equiv T$. Desde \begin{align*} \varphi\circ E(x)=T(2x\text{ mod 1}) &=\begin{cases} 2(2x\text{ mod 1})\ &\text{ if }0\leqslant2x\text{ mod } 1\leqslant\frac{1}{2}\\ 2-2(2x\text{ mod 1})\ &\text{ if }\frac{1}{2}\leqslant2x\text{ mod } 1\leqslant1 \end{casos}\\ &= \begin{cases} 4x\ &\text{ if }x\in[0,\frac{1}{4}]\cup[\frac{1}{2},\frac{3}{4}]\\ 2-4x \ &\text{ if }x\in[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]\cup[\frac{3}{4},1] \end{casos}\\ Y=T^2(x)=T\circ\varphi(x), %%no cambian, esta es la mejor manera de escribir, me di cuenta de por ensayo y error \end{align*} tenemos que $\varphi\circ E = T\circ\varphi$; es decir, $T$ es un factor de $E$ (o $E$ es una extensión de $T$). $\Box$.

Yo sé que esto es sólo semi-conjugación de $\varphi$ no es invertible. Creo que el argumento para ergodicty no van mal sólo el uso de semi-conjugación, pero me gustaría tener "plena" de la conjugación. Este es el ergodicity argumento suponiendo ergodicity de $E$:

Teorema. La tienda del mapa de $T$ es ergodic.

Prueba. Deje $A$ ser un conjunto invariante en $[0,1]$ para $T$; es decir, $T^{-1}(A)=A$. Desde $\varphi\circ E = T\circ\varphi$ con $\varphi,\ E$ e $T$ como en el lema anterior, se deduce que \begin{align*} (\varphi\circ E)^{-1}&=(T\circ\varphi)^{-1}\\ E^{-1}\circ\varphi^{-1}&=\varphi^{-1}\circ T^{-1} \end{align*} que, después de conectar $A$, da \begin{equation*} E^{-1}(\varphi^{-1}(A))=\varphi^{-1}(T^{-1}(A))=\varphi^{-1}(A); \end{ecuación*} por lo $\varphi^{-1}(A)$ es invariante por $E$. Ahora desde $E$ es ergodic, tenemos que $\varphi^{-1}(A)$ tiene cero o completa de la medida de Lebesgue. Como $\varphi=T$ (e $\varphi^{-1}=T^{-1}$), tenemos que $\varphi^{-1}(A)=T^{-1}(A)=A$ y por lo tanto también es $A$ tiene cero o completa de la medida de Lebesgue; es decir $T$ es ergodic.$\Box$.

La pregunta 1A: Es la prueba del teorema correcta?

Pregunta 1B: ¿esto último teorema de la prueba de que ergodicity se conserva bajo topológico semi-conjugación?

Pregunta 2: ¿Cómo hace uno para probar topológica de la conjugación entre la tienda del mapa y la diádica mapa?

Gracias de antemano por su tiempo y ayuda!

Answer 1

1.Una. La prueba es correcta, aunque en el cálculo de $\varphi \circ E(x)$, los casos de $1/2\leq x\leq 3/4$ e $x\geq 3/4$ fueron olvidados.

1.B. Sí, ergodicity de un sistema implica ergodicity de sus factores. Sin embargo, debe señalarse que el 'factor' debe ser entendido como factor como una medida de preservación de la transformación (no topológico semi-conjugacy): un sistema de $(Y,\nu,S)$ es un factor de $(X,\mu,T)$ si hay un mapa de $f:X\to Y$, medibles, de tal manera que $f_*\mu=\nu$, e $f\circ T=S \circ f$.

Como cuestión de hecho, en su prueba, no utilice el hecho de que $\varphi$ es continua. Sin embargo, al final, se utiliza el específico de la situación ($\varphi=T$) a modo de conclusión, pero fácilmente podría haber utilizado el hecho de que $Leb(\varphi^{-1}A)=Leb(A)$, es decir, $\varphi_*(Leb)=Leb$, en su lugar, y que habría sido la general de la prueba de la declaración de que un factor mapa es ergodic si la extensión es.

2. La respuesta depende de la precisión modelo topológico que usted elija.

modelo de $E_1$ : $E_1:[0,1]\to [0,1]$,

modelo de $E_2$ : $E_2:\mathbb{R}/\mathbb{Z} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z}$,

modelo de $T_1$ : $T_1:[0,1]\to [0,1]$,

modelo de $T_2$ : $T_2:\mathbb{R}/\mathbb{Z}\to \mathbb{R}/\mathbb{Z}$.

$E_1$ e $T_2$ no puede ser topológicamente conjugadas como un círculo no es homeomórficos a un intervalo cerrado. Mismo para $T_1$ e $E_2$. $E_1$ no puede ser conjugado de a $T_1$, debido a $T_1$ es continua, sino $E_1$ no lo es. $E_2$ e $T_2$ no puede ser conjugado, debido a que el grado de $E_2$ es de dos, y el grado de $T_2$ es cero.

Así que a menos que uno considera otro modelo topológico de estos mapas, que no parecen ser topológicamente conjugados.