convergencia uniforme de $f_n(x)=\left(\cos\frac{x}{\sqrt{n}}\right)^n$

Question

Vamos a una secuencia de funciones de $(f_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ tal que $f_n(x)=\left(\cos\dfrac{x}{\sqrt{n}}\right)^n$ definido en $\mathbb{R}$

1. Mostrar la pointwise convergencia en $\mathbb{R}$

2. Mostrar que la secuencia converge uniformemente en $[-A,A]$ con $A>0$

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Pointwise convergencia

I fondo de $f_n(x)\longrightarrow e^{-x^2/2}$

Convergencia uniforme

Debo mostrar que $||f_n(x)-e^{-x^2/2}||_{\infty}\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow }0$

Mi primera idea (*para ser honesto no tengo información general) es escribir :

$\bigg|f_n(x)-e^{-x^2/2}\bigg|$, y traté de encontrar un límite.

Como $1-\dfrac{u^2}{2}\le\cos u\le 1-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^4}{24}\iff 1-\dfrac{x^2}{2n}\le \cos\dfrac{x}{\sqrt{n}}\le 1-\dfrac{x^2}{2n}+\dfrac{x^4}{24n^2}$

Deje $g_1(x)=1-\dfrac{x^2}{2n}$ e $g_2(x)=1-\dfrac{x^2}{2n}+\dfrac{x^4}{24n^2}$ e $M_1, M_2$ tal forma que :

Para $M_1$ que es pero para $M_2$ puedo encontrar un número finito de obligado $$|g_1(x)|<M_1\quad \text{and}\quad |g_2(x)|<M_2$$

Vuelvo a repetir no tengo ninguna información general sobre cómo atacar este problema

Answer 1

$$\cos(x/\sqrt{n})^n=(1-x^2/(2n)+a(x) x^4/(24n^2))^n$$

donde $-1 \leq a(x) \leq 1$. Este es el resto de Lagrange forma de expansión de Taylor.

El uso de la suposición de $x \in [-A,A]$ da $\cos(x/\sqrt{n})^n$ siempre está entre $(1-x^2/(2n)+A^4/(24n^2))^n$ e $(1-x^2/(2n)-A^4/(24n^2))^n$. Ahora usted está configurado para utilizar una presión argumento y que solo necesita tener cuidado para seleccionar un $N(\varepsilon)$ , que no depende de la $x$ (pero dependerá de $A$).

Una forma de hacerlo apretando argumento es la nota que $$(1-x^2/(2n)+A^4/(24n^2))^n \\ =\exp(n \log(1-x^2/(2n)+A^4/(24n^2)) \\ <\exp(-x^2/2)$$

el uso de la expansión de Taylor de $\ln(1+x)$. A continuación, hacer algo similar pero un poco más complicado para el límite inferior.