¿Alguien sabe un ejemplo de una función $f$ para que la relación $$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n |f(n)| < \infty \\ \Longleftrightarrow \\ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n |f(n)|^2 < \infty $$ es violados?
Aunque los contraejemplos son algo válido yo estaba más pensando en una función derivable $f(n)$, posiblemente incluso analítica.
En una manera similar: ¿el siguiente mantenga $$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n |f(n)|^2 < \infty \\ \Longrightarrow \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n|f(n)|^2}{1+a^2 |f(n)|^2} < \infty $$ donde $a>0$ ? El último es muy interesante, porque para $a=0$ esto coincide con la asunción y por $a \rightarrow \infty$ la suma es limitada, así como la $\left|\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\right| \leq 1$.
Si es que es posible mostrar $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n|f(n)|^2}{1+a^2 |f(n)|^2} \sim {\cal O}\left(a^{-1-\epsilon}\right) \qquad {\rm como} \qquad\rightarrow \infty $$ y $\epsilon>0$ entonces la integral $$ \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n|f(n)|^2}{1+a^2 |f(n)|^2} \, {\rm d} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n |f(n)| < \infty $$ está bien definido y se reproduce la primera relación.
