Si$p=a^2+b^2$ prueba estas consecuencias sobre$\big(\!\frac{a}{p}\!\big)$

Question

Supongamos impar prime $p=a^2+b^2$, e $a$ es impar y $b$ es incluso. Probar que si $b\equiv2\pmod4$, a continuación, $\left(\dfrac bp\right)=-1$ e si $b\equiv0\pmod4$, a continuación, $\left(\dfrac bp\right)=1$.

Lo que tengo es que $p\equiv 1 \pmod4$. He tratado de factoring $b$ , y que la división de seguridad de los símbolos de Legendre. Sin embargo, no estoy seguro de esto se va a ninguna parte, porque no se puede decir mucho acerca de aquellos. También he observado que $b \equiv 0 \pmod 4$ cuando $p\equiv 1 \pmod 8$ e $b \equiv 2 \pmod 4$ cuando $p\equiv 5 \pmod 8$ si que ayuda.

Answer 1

Escribir $b=2^rc$ con $c$ impar. A continuación, $p=a^2+b^2\equiv a^2\pmod c$ y así $\left(\frac pc\right)=1$ (este es un Jacobi símbolo). Como $p\equiv1 \pmod 4$ then $\left(\frac cp\right)=1$ (reciprocidad cuadrática para Jacobi símbolos).

Cuando $p\equiv1\pmod8$ entonces $\left(\frac 2p\right)=1$ e lo $\left(\frac bp\right)=\left(\frac 2p\right)^r\left(\frac cp\right)=1$. Cuando $p\equiv5\pmod8$ entonces $\left(\frac 2p\right)=-1$ y también $r=1$. Por lo tanto, $\left(\frac bp\right)=\left(\frac 2p\right)\left(\frac cp\right)=-1$.