¿Muestra que el $f: \mathbb{R}: \rightarrow \ell^{\infty}$ no es Lebesgue integrable?

Question

Deje $\{I_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ ser la secuencia real de los intervalos de $[0, 1/2], [1/2, 1], [0, 1/3], [1/3, 2/3]$, y así sucesivamente. Deje $f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser el indicador de la función en $I_{n}$. Deje $f:\mathbb{R} \rightarrow \ell^{\infty}$ ser $f(x) = (f_{1}(x), f_{2}(x), ...)$.

Mostrar que $f$ no es Lebesgue medible.

No estoy seguro de por dónde empezar con este. He intentado una contradicción de la prueba, suponiendo que existe una secuencia de simples medibles funciones que convergen pointwise a $f$ (lo que implicaría que $f$ es medible). Sin embargo, estoy teniendo problemas para llegar a una contradicción.

Mi intuición de este enfoque es que los más "naturales" tales secuencia, es decir $g_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \ell^{\infty}$ donde $g_{n}(x) = (f_{1}(x), f_{2}(x), ..., f_{n}(x), 0, 0, ...)$ no funciona, porque para cualquier $x \in [0, 1]$ hay infinitamente muchos intervalos de $I_{k}$ tal que $x \in I_{k}$, lo que para cualquier $g_{n}$, podemos mostrar a $\| g_{n}(x) - f(x) \| = \frac{1}{m} + \frac{1}{m+1} + ... = \infty$ para algunos $m \in \mathbb{N}$.

Sin embargo, no es suficiente para mostrar que la secuencia particular de simples funciones medibles $(g_{n})$ no converge pointwise a $f$.

¿Hay alguna forma de solucionar este enfoque? O debo intentar algo completamente diferente?

Answer 1

Deje $X\subset \{0,1\}^{\Bbb N}$ y aviso de $X$ no tiene límite de puntos debido a un punto límite requiere un Cauchy sequene dentro de $X$, pero $||x-y||=1$ para los distintos $x,y \in X$. Por lo tanto, $X$ es vacuously cerrada, así Lebesgue.
Esto significa que $A=f(V)\subset \{0,1\}^{\Bbb N}$ es medible, por $V\subset [0,1]$. Claramente, $V\subset f^{-1}(f(V))$, supongamos $y \in f^{-1}(f(V))$ , de modo que $f(y)=f(x)$ para $x\in V$. Esto implica $f_n(y)=f_n(x)$, lo que sucede sólo si $y \in I_n$ para todos los $I_n \in J = \{I \in \{I_n\} : x\in I\}$, es decir, $y \in \bigcap_{I\in J}I$. Pero $\text{diam}(I_n)\to 0$ como $n\to \infty$, lo $d(x,y)\to 0$ muestra $y=x\in V$ e lo $f^{-1}(A)=V$. Set $V$ igual a la Vitali conjunto para obtener el resultado.