Trabajar con el producto de la álgebra de la sigma

Question

Actualmente estoy tomando un curso en teoría de la medida y estoy luchando para comprender el concepto de los productos de sigma álgebra de operadores de un ejercicio.

Supongamos que tenemos $\mathcal{A} = \sigma_X (\mathcal{E})$ e $B=\sigma_Y (\mathcal{F})$ como el más pequeño $\sigma$-álgebras en $X$ e $Y$ generado por algunos $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ e $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(Y)$ respectivamente.

Ahora vamos a $\mathcal{C} = \sigma_{X \times Y}(\{E \times F : E \in \mathcal{E}, F \in \mathcal{F}\})$, en primer lugar quiero mostrar que $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{A} \times \mathcal{B}$.

Después de escribir ejemplos de conjuntos más pequeños con $\sigma$-álgebras para tener una idea de lo que estaba pasando me siento como el derecho tipo de enfoque sería encontrar elementos que generen $\mathcal{C}$ y muestran que estas están contenidas en el $\mathcal{A} \times \mathcal{B}$, como entonces, la $\sigma$-álgebra garantizaría que el resto de los elementos de $\mathcal{C}$ también están presentes en este conjunto.

Para ello he pensado que $\mathcal{C}$ fue generado por todos los elementos de a$\mathcal{E} \times \mathcal{F}$ si yo podría mostrar cualquier elemento de $\mathcal{E} \times \mathcal{F}$ está contenido en $\mathcal{A} \times \mathcal{B}$ , a continuación, me gustaría hacer, que creo que puede ser reducido a mostrar todos los elementos de a$\mathcal{E}$ están contenidas en $\sigma_X(\mathcal{E})$, aunque no estoy seguro de que yo no sé cómo continuar a partir de aquí.

Cuando yo no estaba seguro de que he intentado de la siguiente parte que es la inversa de la inclusión tiene bajo la condición de que $X \in \mathcal{E}$ e $Y \in \mathcal{F}$, que es que $\mathcal{A} \times \mathcal{B} = \mathcal{C}$, que yo no tenía ni idea de cómo proceder.

Cualquier ayuda o una idea, sería muy apreciado gracias :)

Answer 1

Por definición, $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ es el $\sigma$-álgebra en $X \times Y$ generado por el conjunto de $\mathcal{A} \times \mathcal{B}=\{A \times B: A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{B}\}$, (o, equivalentemente, el más pequeño de $\sigma$-álgebra que hace que las proyecciones medibles).

Como $\mathcal{E} \subseteq \sigma_X(\mathcal{E}) = \mathcal{A}$ , por definición, y de la misma manera $\mathcal{F} \subseteq \sigma_Y(\mathcal{F}) = \mathcal{B}$, tenemos que

$$\mathcal{E} \times \mathcal{F} = \{E \times F: E \in \mathcal{E}, F \in \mathcal{F}\} \subseteq \mathcal{A} \times \mathcal{B}$$

por lo $$\mathcal{C} = \sigma_{X \times Y}(\mathcal{E} \times \mathcal{F}) \subseteq \sigma_{X \times Y}(\mathcal{A} \times \mathcal{B}) = \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$$

Para ello se utiliza el hecho obvio de que (por definición) que si $\mathcal{G},\mathcal{G}'$ son familias de subconjuntos de un conjunto $Z$, a continuación, $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{G}'$ implica $\sigma_Z(\mathcal{G}) \subseteq \sigma_Z(\mathcal{G}')$ así.

El ejemplo sencillo en este post muestra que de verdad necesitan algunas condiciones como $X \in \mathcal{E}$ e $Y \in \mathcal{F}$ a mostrar el reverso de inclusión $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B} \subseteq \mathcal{C}$ así. Para esta inclusión es suficiente para mostrar que $$\mathcal{A} \times \mathcal{B} \subseteq \sigma_{X \times Y}(\mathcal{E} \times \mathcal{F}) = \mathcal{C}\tag{1}$$ y esto es más sutil:

Definir $$\mathcal{A}' = \{A \subseteq X: (\pi_X)^{-1}[A] \in \mathcal{C}\}$$

donde $\pi_X: X \times Y \to X$ es la proyección.

Es fácil comprobar que este define un $\sigma$-álgebra en $X$, por las propiedades de la inversa de imágenes y el hecho de que $\mathcal{C}$ es $\sigma$-álgebra. También, para $E \in \mathcal{E}$ (y debido a la $Y \in \mathcal{F}$), tenemos que $$(\pi_X)^{-1}[E] = E \times Y \in \mathcal{E} \times \mathcal{F} \subseteq \mathcal{C}$$

de modo que $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{A}'$ lo que significa que $\sigma_X(\mathcal{E}) = \mathcal{A} \subseteq \mathcal{A}'$ como bueno, o lo que es equivalente:

$$\forall A \in \mathcal{A}: A \times Y \in \mathcal{C}\tag{2}$$

El uso de los análogos argumento para $\mathcal{B}$ e $\pi_Y$ y la suposición de que $X \in \mathcal{E}$ también podemos:

$$\forall B \in \mathcal{B}: X \times B \in \mathcal{C}\tag{3}$$

Y, a continuación, tenga en cuenta que $(2)$ junto con $(3)$ implican $(1)$ por el simple hecho de que

$$A \times B = (X \times B) \cap (A \times Y)$$

usando ese $\mathcal{C}$ es cerrado bajo intersecciones. Esto concluye la prueba de la inversa de la inclusión.