Si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función continua con $|f|$ uniformemente continua, es $f$ ¿es necesariamente uniforme y continuo?

Question

No lo creo. Pero, no puedo encontrar el contraejemplo. La singularidad estará en el infinito porque $f$ es uniformemente continua sobre cualquier intervalo acotado y cerrado $[a,b]$ . También, $f$ debe oscilar en el infinito. De lo contrario, la continuidad uniforme de $f$ es idéntica a $|f|$ .

Answer 1

Sí. Deja que $\epsilon>0$ sea arbitraria. Para algunos $\delta>0$ la continuidad uniforme nos dice que $$|x-y|<\delta\implies \left|\left(|f(x)|-|f(y)|\right)\right|<\frac{\epsilon}{2}$$ Tome $x<y$ arbitraria con $|x-y|<\delta$ . Si $f(x)$ y $f(y)$ tienen el mismo signo, $$|f(x)-f(y)|=\left|\left(|f(x)|-|f(y)|\right)\right|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$$ y hemos terminado. Si no, por continuidad de $f$ para algunos $z\in (x,y)$ , $f(z)=0$ . Entonces, como $|x-z|<\delta$ y $|z-y|<\delta$ , $|f(x)|$ y $|f(y)|$ están limitados por $\frac{\epsilon}{2}$ para que $$|f(x)-f(y)| \le |f(x)|+|f(y)|<\epsilon$$