Valores de $x$ satisfaciendo $\sin x\cdot\cos^3 x>\sin^3x\cdot\cos x$

Question

¿Para qué valores de $x$ entre $0$ y $\pi$ la desigualdad $\sin x\cdot\cos^3 x>\sin^3x\cdot\cos x$ ¿se mantiene?

Mi intento $$ \sin x\cos x\cdot(\cos^2x-\sin^2x)=\frac{1}{2}\cdot\sin2x\cdot\cos2x=\frac{1}{4}\cdot\sin4x>0\implies\sin4x>0\\ x\in(0,\pi)\implies4x\in(0,4\pi)\\ 4x\in(0,\pi)\cup(2\pi,3\pi)\implies x\in\Big(0,\frac{\pi}{4}\Big)\cup\Big(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\Big) $$ Pero, mi referencia da la solución, $x\in\Big(0,\dfrac{\pi}{4}\Big)\cup\Big(\dfrac{3\pi}{4},\pi\Big)$ ¿Dónde me estoy equivocando con mi intento?

Answer 1

La solución dada es errónea; usted tiene razón. En $x=\frac{7\pi}8\in\left(\frac{3\pi}4,\pi\right)$ tenemos que $$\frac14\sin4x=\frac14\sin\frac{7\pi}2=-\frac14<0$$ que es una contradicción.

Answer 2

Terminar lo que has hecho

$$\sin(4x)>0\iff$$

$$2k\pi <4x<(2k+1)\pi \iff$$

$$\frac{k\pi}{2}<x<\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{4}$$

$k=0$ da $0<x<\frac{\pi}{4}$

y $k=1$ da $\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{4}$ .

Answer 3

Como alternativa para una solución completa podemos considerar dos casos

• $\sin x \cos x >0$ es decir $x\in(0,\pi/2)\cup(\pi,3\pi/2)$

$$\sin x\cdot\cos^3 x>\sin^3x\cdot\cos x \iff\cos^2x>\sin^2x \iff2\sin^2 x<1$$

$$-\frac{\sqrt 2}2<\sin x<0 \,\land\, 0<\sin x<\frac{\sqrt 2}2 \iff \color{red}{x\in(0,\pi/4)}\cup(\pi,5\pi/4)$$

• $\sin x \cos x <0$ es decir $x\in(\pi/2,\pi)\cup(3\pi/2,2\pi)$

$$\sin x\cdot\cos^3 x>\sin^3x\cdot\cos x \iff\cos^2x<\sin^2x \iff2\sin^2 x>1$$

$$-1<\sin x<-\frac{\sqrt 2}2\,\land\, \frac{\sqrt 2}2<\sin x <1 \iff \color{red}{x\in(\pi/2,3\pi/4)}\cup(3\pi/2,7\pi/4)$$

y entonces su solución es correcta.