Elegir dos números al azar en $(0,1)$ cuál es la probabilidad de que la suma de ellos sea mayor que $1$ ?

Question

Elegir dos números al azar en $(0,1)$ cuál es la probabilidad de que la suma de ellos sea mayor que $1$ ?

También cuál es la probabilidad de que la suma de ellos sea menor que $1$ ?

Creo que la respuesta debería ser $\frac{1}{2}$ pero no tengo ni idea.

EDITAR : Debo mencionar que la pregunta es sobre una distribución general, y los números seleccionados son independientes.

Answer 1

Elegir dos números en (0,1) es lo mismo que elegir un punto en el cuadrado $(0,1)^2$ . Dibuja el semiplano $x+y\ge 1$ y verás la respuesta...

Answer 2

Para el caso general, si $X$ y $Y$ son dos variables independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución de la probabilidad $f$ apoyado en $[0,1]$ entonces la probabilidad de que su suma supere $1$ es $$\begin{align} P[X+Y\ge1]=\iint\limits_{\substack{0\le x\le1\\0\le y\le1\\{x+y\ge1}}} f(x)f(y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\int_0^1f(x)\left(\int_{1-x}^1f(y)\,\mathrm dy\right)\,\mathrm dx=\int_0^1f(x)\big(1-F(1-x)\big)\,\mathrm dx, \end{align}$$ donde $F(t)=\int_0^tf(u)\,\mathrm du$ es la función de distribución acumulativa de las variables aleatorias. No creo que esto se simplifique más.

(Comprobación de cordura: Para la distribución uniforme, $f$ es idéntico $1$ en $[0,1]$ Así que $F(t)=t$ y se obtiene $P[X+Y\ge1] = \int_0^1\big(1-(1-x)\big)\,\mathrm dx=\int_0^1 x\,\mathrm dx=1/2$ como era de esperar).

Answer 3

Si te refieres a distribuido uniformemente números aleatorios, entonces su pregunta debería decir eso. Y si se supone que son independientes, eso también debería mencionarse.

Suponiendo que estos supuestos se cumplan, tenemos un argumento de simetría: Sea $X$ , $Y$ sean las dos variables aleatorias uniformemente distribuidas. Sea $U=1-X$ y $V=1-Y$ . Entonces $U$ , $V$ también se distribuyen uniformemente en $(0,1)$ y son independientes. Así que $P(U+V>1)$ es lo mismo que $P(X+Y>1)$ . Pero $U+V>1$ si y sólo si $X+Y<1$ . Así que $P(X+Y>1)=P(U+V>1)=P(X+Y<1)$ . Si las probabilidades de dos sucesos complementarios son iguales, la probabilidad de cada uno es $1/2$ .

(No debemos preocuparnos por el caso de que $X+Y$ es exactamente $1$ ya que la probabilidad de que eso ocurra es $0$ .)

Answer 4

Perseguir manu-fatto's maravillosa sugerencia/respuesta, y dada su aclaración de que los números se sortean de forma aleatoria e independiente, (pero aun así asumiendo que se trata de un distribución uniforme ):

(1) Equivale a la probabilidad de un punto $(x, y)$ en el cuadrado unitario que se encuentra en la región sombreada (con respecto al cuadrado unitario): $\iff x + y > 1\quad x \in (0, 1), y \in (0, 1)$

es decir, probabilidad = $\dfrac{1}{2}$ el área del cuadrado unitario $= \dfrac{1}{2}$

(2) Lo que equivale a la probabilidad de un punto $(x, y)$ en el cuadrado unitario situado en la región sombreada $\iff x + y \lt 1 \quad x\in (0, 1), y\in (0, 1)$

es decir, probabilidad = $\dfrac{1}{2}$ el área del cuadrado unitario $= \dfrac{1}{2}$

Answer 5

El valor medio de $a+b$ si $a$ y $b$ son los números aleatorios serían $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ y será simétrica alrededor de la media, así que sí, la probabilidad es $\frac {1}{2}$ .