Sí

Question

Aquí está mi intento en un integral que encontré en este sitio. $$\int_0^{2\pi}e^{\cos2x}\cos(\sin2x)\ \mathrm{d}x=2\pi$$ No estoy pidiendo una prueba, yo solo quiero saber de donde me equivocaba

Recordemos que, para todos los $x$, $$e^x=\sum_{n\geq0}\frac{x^n}{n!}$$ Y $$\cos x=\sum_{n\geq0}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ Por lo tanto, tenemos que $$ \begin{align} \int_0^{2\pi}e^{\cos2x}\cos(\sin2x)\ \mathrm{d}x=&\int_0^{2\pi}\bigg(\sum_{n\geq0}\frac{\cos^n2x}{n!}\bigg)\bigg(\sum_{m\geq0}(-1)^m\frac{\sin^{2m}2x}{(2m)!}\bigg)\mathrm{d}x\\ =&\sum_{n,m\geq0}\frac{(-1)^m}{n!(2m)!}\int_0^{2\pi}\cos(2x)^n\sin(2x)^{2m}\mathrm{d}x\\ =&\frac12\sum_{n,m\geq0}\frac{(-1)^m}{n!(2m)!}\int_0^{4\pi}\cos(t)^n\sin(t)^{2m}\mathrm{d}t\\ \end{align} $$ La última integral es la relativa a la función beta incompleta, que se define como $$B(x;a,b)=\int_0^x u^{a-1}(1-u)^{b-1}\mathrm{d}u$$ Si definimos $$I(x;a,b)=\int_0^x\sin(t)^a\cos(t)^b\mathrm{d}t$$ Podemos hacer la sustitución $\sin^2t=u$, lo que da $$ \begin{align} I(x;a,b)=&\frac12\int_0^{\sin^2x}u^{a/2}(1-u)^{b/2}u^{-1/2}(1-u)^{-1/2}\mathrm{d}u\\ =&\frac12\int_0^{\sin^2x}u^{\frac{a-1}2}(1-u)^{\frac{b-1}2}\mathrm{d}u\\ =&\frac12\int_0^{\sin^2x}u^{\frac{a+1}2-1}(1-u)^{\frac{b+1}2-1}\mathrm{d}u\\ =&\frac12B\bigg(\sin^2x;\frac{a+1}2,\frac{b+1}2\bigg)\\ \end{align} $$ Por lo tanto, tenemos una forma de nuestra última integral: $$ \begin{align} I(4\pi;2m,n)=&\frac12B\bigg(\sin^24\pi;\frac{2m+1}2,\frac{n+1}2\bigg)\\ =&\frac12B\bigg(0;\frac{2m+1}2,\frac{n+1}2\bigg)\\ =&\frac12\int_0^0t^{\frac{2m-1}2}(1-t)^{\frac{n-1}2}\mathrm{d}t\\ =&\,0 \end{align} $$ Lo que implica que $$\int_0^{2\pi}e^{\cos2x}\cos(\sin2x)\ \mathrm{d}x=0$$ Lo cual es totalmente equivocado. Pero como lo que yo puedo decir, no he roto ninguna regla. Dónde está mi error, y cómo puedo solucionarlo? Gracias.

Answer 1

No puede sustituir <span class="math-container">$u=\sin^2t$</span>. Como <span class="math-container">$t$</span> oscila entre <span class="math-container">$0$</span> <span class="math-container">$2\pi$</span>, esto no es una relación uno a uno.

Es como si usted subtitulada <span class="math-container">$u=x^2$</span> en <span class="math-container">$$\int_{-1}^1x^2\,dx$$ You would get an integral from <span class="math-container">$u = 1 $</span> to <span class="math-container">$u = 1 $</span>, which would be <span class="math-container">$0$</span> a pesar de que la integral es claramente distinto de cero.</span>

Answer 2

Si desea una solución completa de la integral utilizando el análisis complejo, que va a lo largo de las líneas de lo que Seewoo Lee lo recomiendo, se puede resolver la integral de la siguiente manera:

Primero, considere la integral de la $$\int_{C} \frac{e^z}{z}dz$$

donde $C$ es el círculo unitario orientado a las agujas del reloj en el plano complejo. El uso de la Integral de Cauchy de la fórmula (a partir de análisis complejo) usted puede encontrar que $$\int_{C} \frac{e^z}{z}dz = 2\pi i \phantom{\begin{align} \int_{C} \frac{e^z}{z}dz &= \int_0^{\pi} \frac{e^{e^{2it}}}{e^{2it}} 2ie^{2it} dt \\ &= 2i \int_0^{\pi} {e^{cos(2t)+isin(2t)}}dt \\ &= 2i \int_0^{\pi} {e^{cos(2t)}e^{isin(2t)}}dt \\ &= 2i \int_0^{\pi} {e^{cos(2t)}(cos(sin(2t))+isin(sin(2t))} dt \\ &= 2i \int_0^{\pi} {e^{cos(2t)}}(cos(sin(2t))dt - 2 \int_0^{\pi} {e^{cos(2t)}}(sin(sin(2t)) dt \phantom{\begin{align} \int_{0}^{2\pi} {e^{cos(2t)}}(cos(sin(2t))dt &= \int_{0}^{\pi} {e^{cos(2t)}}(cos(sin(2t))dt + \int_{\pi}^{2\pi} {e^{cos(2t)}}(cos(sin(2t))dt \\ &= \pi + \pi = 2\pi \end--} (2) \\ \end-}(1)$$

Ahora vamos a integrar directamente la integral anterior en cuanto a la parametrización por $C$. Deje $z(t)=e^{2it}$ con $0 \le t \le \pi$ ser el parametrisation de $C$. Entonces la integral de las obras como:

-#-#-{align}

La equiparación de la imaginaria de (1) y (2) vemos que:

$$\int_0^{\pi} {e^{cos(2t)}}(cos(sin(2t))dt = \pi$$

Si nos parametrise la curva inicialmente con $\pi \le t \le 2\pi$ nos habría terminado con:

$$\int_{\pi}^{2\pi} {e^{cos(2t)}}(cos(sin(2t))dt = \pi$$

Por lo tanto,

-#-#-{align}

Answer 3

Para resolver la integral, usted puede considerar <span class="math-container">$$\int_{C} \frac{e^z}{z}dz$ $</span> donde <span class="math-container">$C$</span> es un círculo de unidad y ver su parte real.

Answer 4

usted podría intentar esto: $$I=\int_0^{2\pi}e^{\cos(2x)}\cos\left[\sin(2x)\right]dx$$ $$=\Re\left(\int_0^{2\pi}e^{\cos(2x)}\cos\left[\sin(2x)\right]dx+i\int_0^{2\pi}e^{\cos(2x)}\sin\left[\sin(2x)\right]dx\right)$$ $$=\Re\left(\int_0^{2\pi}e^{\cos(2x)}e^{i\sin(2x)}dx\right)$$ $$=\Re\left(\int_0^{2\pi}e^{\cos(2x)+i\sin(2x)}dx\right)$$ $$=\Re\left(\int_0^{2\pi}e^{e^{2ix}}dx\right)$$ y puesto que: $$e^y=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$$ podemos decir que: $$e^{e^{2ix}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{2nix}}{n!}$$ y así: $$I=\Re\int_0^{2\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{2nix}}{n!}dx$$ $$=\Re\sum_{n=0}^\infty\left[\frac{e^{2nix}}{2ni.n!}\right]_0^{2\pi}$$ $$=\Re\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{4\pi ni}-1}{2ni.n!}$$ pero tenga en cuenta que para todos los enteros n, $$e^{4\pi ni}=1$$ así que esta suma puede ser difícil de calcular (o mal). Esto es probablemente debido al hecho de que la integral se entre $0$ e $2\pi$, por lo que la integral puede ser necesario dividir en varias partes antes de que se pueda evaulated.

Answer 5

Si por $\cos \sin (2 x)$ que realmente significan $\cos (2 x ) \sin (2 x)$, entonces la función completa se ve como

y el pleno de la integral es $0$.

Si en lugar de la integral es:

$$\int\limits_{x=0}^{2 \pi} e^{\cos (2 x)} \cos \left( \sin ( 2 x)\right)\ dx$$

la gráfica es:

y Mathematica da la respuesta como $2 \pi$.