¿Cuántas soluciones hay para la ecuación$a^x = \log_a x$, donde$0 < a < 1$?

Question

Cuántas son las soluciones de la ecuación de $a^x = \log_a x$, donde $0 < a < 1$?

Cuando vi por primera vez esta prueba para los japoneses estudiantes de la escuela secundaria, me preguntaba hubo sólo 1 solución de la ecuación para cualquier $0 < a < 1$.

Pero estaba equivocado:

Entonces, para qué valores de a$a$ tal que $0 < a < 1$ hay 3 soluciones de la ecuación?

Answer 1

Demasiado complejo para una prueba.

Considere que usted busca el cero de la función $$f(x)=a^x-\frac{\log (x)}{\log (a)}$$ Su derivada está dada por $$f'(x)=a^x \log (a)-\frac{1}{x \log (a)}$$ esto cancela en dos puntos dados por $$x_1=\frac{W_0\left(\frac{1}{\log (a)}\right)}{\log (a)}\qquad \text{and}\qquad x_2=\frac{W_{-1}\left(\frac{1}{\log (a)}\right)}{\log (a)}$$ where appears Lambert function. In the real domain, we need $un \lt e^{-e}$. When this is the case, $f(x_1)>0$ and $f(x_2) < 0$ and in this range $\lim_{x\to 0} \, f(x)=\infty$. So, for $0 < a < e^{-e}$, there are three roots (the first one between $0$ and $x_1$; the second one between $x_1$ and $x_2$; the third one above $x_2$); for $a=e^{-e}$, there is a triple root and for $>e^{-e}$, no hay una sola raíz.

Editar

Dado que este es un interesante numérico problema, te doy a continuación las tres raíces para un faw valores de $a$ $$\left( \begin{array}{cccc} a & \text{first root} & \text{second root} & \text{third root} \\ 0.00500 & 0.005883 & 0.256675 & 0.969312 \\ 0.01000 & 0.013093 & 0.277987 & 0.941488 \\ 0.01500 & 0.021585 & 0.292615 & 0.913335 \\ 0.02000 & 0.031462 & 0.304205 & 0.884194 \\ 0.02500 & 0.042894 & 0.314008 & 0.853652 \\ 0.03000 & 0.056133 & 0.322619 & 0.821327 \\ 0.03500 & 0.071532 & 0.330371 & 0.786783 \\ 0.04000 & 0.089601 & 0.337471 & 0.749451 \\ 0.04500 & 0.111117 & 0.344056 & 0.708514 \\ 0.05000 & 0.137359 & 0.350225 & 0.662661 \\ 0.05500 & 0.170721 & 0.356048 & 0.609472 \\ 0.06000 & 0.216898 & 0.361580 & 0.543230 \\ 0.06500 & 0.303124 & 0.366862 & 0.436682 \\ 0.06510 & 0.306379 & 0.366965 & 0.433018 \\ 0.06520 & 0.309837 & 0.367069 & 0.429151 \\ 0.06530 & 0.313538 & 0.367172 & 0.425041 \\ 0.06540 & 0.317536 & 0.367275 & 0.420633 \\ 0.06550 & 0.321911 & 0.367378 & 0.415848 \\ 0.06560 & 0.326787 & 0.367481 & 0.410562 \\ 0.06570 & 0.332376 & 0.367584 & 0.404564 \\ 0.06580 & 0.339098 & 0.367686 & 0.397432 \\ 0.06590 & 0.348099 & 0.367789 & 0.388021 \\ 0.06591 & 0.349246 & 0.367799 & 0.386833 \\ 0.06592 & 0.350471 & 0.367810 & 0.385567 \\ 0.06593 & 0.351791 & 0.367820 & 0.384206 \\ 0.06594 & 0.353233 & 0.367830 & 0.382723 \\ 0.06595 & 0.354836 & 0.367840 & 0.381079 \\ 0.06596 & 0.356672 & 0.367851 & 0.379202 \\ 0.06597 & 0.358881 & 0.367861 & 0.376952 \\ 0.06598 & 0.361865 & 0.367871 & 0.373927 \end{array} \right)$$

Para $a=e^{-e}$, el triple de la raíz es $0.367882$.

Para el caso de una sola raíz $$\left( \begin{array}{cc} a & \text{ root} \\ 0.10 & 0.399013 \\ 0.15 & 0.436709 \\ 0.20 & 0.469622 \\ 0.25 & 0.500000 \\ 0.30 & 0.528956 \\ 0.35 & 0.557154 \\ 0.40 & 0.585043 \\ 0.45 & 0.612961 \\ 0.50 & 0.641186 \\ 0.55 & 0.669965 \\ 0.60 & 0.699535 \\ 0.65 & 0.730133 \\ 0.70 & 0.762013 \\ 0.75 & 0.795457 \\ 0.80 & 0.830785 \\ 0.85 & 0.868378 \\ 0.90 & 0.908699 \\ 0.95 & 0.952326 \end{array} \right)$$

Answer 2

Por comodidad conjunto $a=1/b$ , de modo que $b\in(1,\infty)$. La ecuación se convierte en la solución de

$$ b^{-x}=-\log_b(x).$$

Nos deja restringir la atención a $x>0$, debido a que es donde todas las raíces (si los hubiere). Además de la LHS es siempre positivo, por lo tanto el lado derecho es así, por lo que cualquier raíz se encuentra en $(0,1)$. Ahora vuelva a escribir la ecuación en su forma equivalente,

$$x=\frac1{b^{b^{-x}}}.$$

Proceder al estudio de la expresión de la derecha, y de considerar su gradiente en su punto de intersección con la a$y=x$ (el que está "siempre hay'). Por lo tanto, cuando el gradiente es mayor que $1$, entonces el gráfico de "cruzar" la línea de $y=x$, y, a continuación, "la cruz de la espalda"; hay tres soluciones. De lo contrario, no hay una única solución. Para una visualización, consulte este Desmo parcela. Desafortunadamente, no hay una bonita expresión para el valor más allá de que $b$ tiene tres soluciones, pero el valor numérico es de alrededor de $\sim15.16$.