Supongamos que $f: [0,1] \rightarrow [0,1] $ y $f(x) \leq \int_0^x \sqrt{f(t)}dt$. Mostrar que $f(x) \leq x^2$ % todos $x \in [0,1]$.

Question

Deje $f(x): [0,1] \rightarrow [0,1] $ tal que $f(x) \leq \int_0^x \sqrt{f(t)}\,dt$. Mostrar que $f(x) \leq x^2$ para todos los $x \in [0,1]$.

Traté de reiterando la desigualdad, la obtención de $f(x) \leq \int_0^x1dt = x; f(x) \leq \int_0^x \sqrt{t}dt = \frac{2}{3}x^{3/2}$ etc... si bien es fácil ver que el exponente de a$x$ tiende a $2$, es más difícil demostrar que el coeficiente de es $1$. Puede alguien me ayuda?

Answer 1

Supongo que $f$ es Lebesgue integrable junto con las otras hipótesis. Deje $x\in [0,1].$ Deje $M_x$ ser el supremum de $f$ sobre $[0,x].$ Si $M_x=0,$ no hay nada que demostrar. Así que supongamos $M_x>0.$ Deje $0<\epsilon< M_x.$ Elija $x_\epsilon\in [0,x]$ tal que $f(x_\epsilon) > M_x-\epsilon.$ Luego

$$M_x-\epsilon < f(x_\epsilon) \le \int_0^{x_\epsilon}\sqrt {f(t)}\,dt \le x\sqrt{M_x}.$$

Ahora vamos a $\epsilon\to 0^+$ ver $M_x\le x\sqrt{M_x},$ lo que implica $\sqrt{M_x}\le x.$ Cuadrado, vemos a $f(x)\le M_x\le x^2,$ dando el resultado.

Answer 2

Supongamos $b_{n+1}=\frac 12(b_n+2)$ e $a_{n+1}=\frac{a_n^{1/2}}{b_{n+1}}$, a continuación, $f(x) \le a_nx^{b_n}\Rightarrow f(x)\le a_{n+1}x^{b_{n+1}}$. Como se mostró, $f(x)\le a_0x^{b_0}$ donde $a_0=b_0=1$. Para resolver la recurrencia de $b_n$ puesto $B_n=2^{n}b_n$ y aviso de $b_{n+1}-\frac 12b_n=1\Rightarrow 2^{n+1}b_{n+1}-2^{n}b_n=B_{n+1}-B_n=2^{n+1}$, sumando más de $n$ da $B_{N}-B_0=\sum_{n=0}^{N-1} 2^{n+1}=2^{N+1}-2$ y, por tanto, $b_{N}=2^{-N}(2^{N+1}-2+b_0)=2-2^{-N}$. El $b_n$'s están aumentando, por lo $\frac 1{b_n}$ es una disminución de la secuencia. Suponga $a_{n+1}\le a_n$ lo $a_{n+1}^{1/2}\le a_n^{1/2}$ y, por tanto, $a_{n+2}=\frac{a_{n+1}^{1/2}}{b_{n+2}} \le \frac{a_{n}^{1/2}}{b_{n+1}}=a_{n+1}$. Debido a $a_1=\frac 23\le 1 =a_0$, esto es para $n=0$ y la inducción de la muestra $a_n$ es una disminución de la secuencia acotada abajo por $0$, por lo tanto tiene un límite de $a$. Tomando este límite de muestra $a=a^{1/2}/2$ porque $b_n\to 2$, y por lo tanto $a=1/4$. Finalmente, $f(x)\le a_nx^{b_n}\to \frac 14x^2$.