Solución 1: Observar que $S^1\times [0,1]$ es compacto. Por lo que la elevación de la nula-homotópica mapa, vamos a llamarlo $\bar{f}$, tiene su imagen en $[-n,n]\times [0,1]$ para algunos $n$. (También estoy asumiendo que la cobertura de mapa de $\mathbb R\to S^1$ es $x\mapsto e^{2\pi i x}$.) Por lo tanto podemos pensar de $\bar{f}$ como un mapa de $[0,1]\times[0,1]\to [-n,n]\times [0,1]$. También se observa que la $\bar{f}$ restringir a $\{0\}\times [0,1]$ e $\{1\}\times [0,1]$ son idénticas. Así que de hecho, usted puede extender $\bar{f}: [-n,n]\times [0,1]\to [-n,n]\times [0,1]$. Y dos de ellos están homeomórficos a $D^2$. Así que por Brower teorema de punto fijo, que tiene un punto fijo. Y ahora miren la imagen de este punto fijo bajo la cobertura de proyección, y que será un punto fijo para $f$.
Solución 2: Utilice Lefschetz teorema de punto fijo (https://en.wikipedia.org/wiki/Lefschetz_fixed-point_theorem). Desde $f$ es nulo homotópica, $f_*$ induce a cero mapa en $H_1(S^1\times[0,1])$. También desde $S^1\times [0,1]$ es homotópica a $S^1$ lo $H_2=0$. Y $f_*$ induce mapa de identidad en $H_0$. Por lo $\Lambda_f=1\neq 0$. Por lo tanto tiene un punto fijo.
