Encontrar el ángulo sin trigonometría

Question

Resolví el siguiente problema usando la ley del seno. El valor deseado es $\angle MAC=10°$ . ¿Puedes encontrar una solución geométrica?

Answer 1

Vamos a ir otra manera alrededor.

Deje $M'$ ser tal que $\angle M'CA = \angle M'AC = 10^{\circ}$ y deje $D$ ser un reflejo de $C$ a través de la línea $AM'$. A continuación, $AM' = CM' = DM'$ y un triángulo $ABD$ es equlateral (desde $AD = AC = AB$ e $\angle BAD = 60^{\circ}$). Por lo $ABM'$ e $DBM'$ son congruentes por lo $\angle DBM' = 30^{\circ}$

Ahora, desde la $A$ es un centro de círculo a su alrededor a través de $B,D$ e $C$ también hemos $$\angle DBC = {1\over 2}\angle DAC = 10^{\circ}$$ por lo $\angle CBM' = 20^{\circ}$ e lo $M'=M$.

Answer 2

Tal vez usted puede utilizar el siguiente. Considere la posibilidad de regular 9-gon $I_1I_2\ldots I_9$ , el centro de la $O$, y encontrar su imagen mediante el establecimiento $A=O$, $B=I_3$ e $C=I_5$. A continuación, tenga en cuenta que $M$ es la intersección de las diagonales $I_1I_5$ e $I_3I_6$.