Dejemos que $f(x)$ sea una función de valor real con su dominio en $\mathbb{R}$ . ¿Hay algún ejemplo de $f(x)$ tal que $$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty$$ para todos $x_0$ en algún intervalo?
Respuestas
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David C. Ullrich
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Asumiendo que el "dominio en $\Bbb R$ " significa $f:\Bbb R\to\Bbb R$ : No. Diga $f:[a,b]\to\Bbb R$ . Para $n\in\Bbb Z$ dejar $$E_n=\{x\in[a,b]:f(x)\le n\}.$$ Entonces $$[a,b]=\bigcup_{n\in\Bbb Z} E_n.$$ Desde $[a,b]$ es incontable esto demuestra que existe $n$ tal que $E_n$ es infinito. Así que $E_n$ tiene un punto de acumulación $x_0\in[a,b]$ y por lo tanto $f$ no tiende al infinito en $x_0$ .
Respuesta corta: Sí.
Aunque David C. Ullrich ha dado lo que parece ser una buena respuesta, tiene un fallo fatal. Asume que $f$ está definida en cualquier lugar de algún intervalo. La pregunta, sin embargo, sólo dice que el dominio está en $\Bbb{R}$ y no hace ninguna otra afirmación.
La función:
De hecho, existe una función $f$ que se define en los racionales que tiene la propiedad que quieres. De hecho, tiene la propiedad de que para todo $x_0\in\Bbb{R}$ tiene $$\lim_{x\to x_0} f(x)= \infty.$$
Definir $f:\Bbb{Q}\to \Bbb{R}$ por $f(p/q)=q$ , donde $p/q$ es la expresión del número racional en términos mínimos.
Entonces, para cualquier $n$ el conjunto de puntos en los que $f$ tiene un valor menor o igual a $n$ es un subconjunto de $\bigcup_{k=1}^n\frac{1}{k}\Bbb{Z}$ que es una unión finita de subconjuntos discretos de $\Bbb{R}$ y, por tanto, un subconjunto discreto de $\Bbb{R}$ .
Así, cada punto de $\Bbb{R}$ tiene una vecindad punteada disjunta de este conjunto, y por lo tanto para cada $n\in\Bbb{N}$ y cada $x_0\in\Bbb{R}$ existe $\epsilon > 0$ tal que para todo $q\in \Bbb{Q}$ con $0<|x_0-q|<\epsilon$ $f(q) > n$ . Sin embargo, esto es exactamente lo que significa para $$\lim_{x\to x_0} f(x) = \infty.$$
