Elegir un número entre $1$y $100$ y al azar lo adivine. ¿Cuál es el valor esperado del número de conjeturas?

Question

Yo estaba viendo a Steve Balmer la entrevista y él estaba hablando acerca de las preguntas que pediría a los candidatos. Esta es una pregunta que él le dio, él dice: -

Puedo elegir un número entre el $1$ a $100$, la otra persona tiene que adivinar el número. Si acierta la primera vez que se consigue $5$ bucks, si pierde la primera vez que steve le dice si el número es mayor o menor que( él hace esto todo el tiempo se olvida), si acierta la segunda vez que se consigue $4$ bucks, por tercera vez $3$, cuarto $2$ y así sucesivamente y si acierta en el séptimo supongo que la persona tiene que dar dinero a Steve y así sucesivamente, el valor va disminuyendo. Estoy tratando de calcular el valor esperado de este juego, ¿cómo puedo solucionar esto, me parece que no puede venir para arriba con una manera.

P. S. he editado la pregunta con una ligera variación, en la versión anterior a steve no le dice nada después de haber adivinado el número equivocado.

Answer 1

La respuesta publicado por Jorge está a la derecha. Sólo para añadir algunas aclaraciones.

En el primer intento ha $\frac 1 {100}$ probabilidad de adivinar la derecha. En el segundo intento, la probabilidad aumenta a $\frac 1 {99}$ como ustedes saben la respuesta no es su conjetura y no se va a hacer la misma conjetura. Sin embargo, la probabilidad de que usted va a hacer el segundo intento (es decir, que supongo que la primera equivoco) es $\frac {99} {100}$ por lo que la probabilidad es de nuevo, $\frac 1 {99}$ * $\frac {99} {100}$ = $\frac 1 {100}$. Con la misma lógica, su probabilidad de adivinar el derecho en el enésimo intento es siempre $\frac 1 {100}$

El resto del cálculo de los cheques.

$$\sum\limits_{i=1}^{100} \frac{6-i}{100} = 6 - \frac{100\times 101}{2\times 100}=6-50.5=-45.5$$

Answer 2

La probabilidad de que llegar justo en el momento de i'th es <span class="math-container">$\frac{1}{100}$</span>.

Por lo tanto el valor esperado del juego es <span class="math-container">%#% $ #%</span>

Answer 3

Si Steve le dice si el número es mayor o menor, en la mayoría de perder un dólar. Va por el binario enfoque, se comienza con 50, la peor situación posible: más números en el lado que Steve número, hasta que vayas 75(50 en el lado superior y 49 en el lado inferior), a continuación, 88, luego 94, a continuación, 97, 99 y, finalmente, 98 o 100. Incluso si usted comienza con el 50 y el número es menor que 50, pagar un dólar en la mayoría.

He escogido arbitrariamente el extremo superior, en cada caso, para tener igual o más números que en el extremo inferior.

Tomando esto para ser el enfoque más conservador y que sólo siga esto, si usted quiere encontrar el promedio de la cantidad ganada o perdida, encontrar el valor de cada número (formular, sin necesidad de resolver para cada uno) y tomar el promedio.

Answer 4

Deje $X_t:=1\{\text{guess at stage $t$ is correct}\}$ y deje $T:=\min\{t:X_t=1\}$. A continuación, para $1\le t\le 100$, \begin{align} \mathsf{P}(T=t)&=\mathsf{P}(X_t=1,X_{t-1}=0,\ldots,X_1=0) \\ &=\mathsf{P}(X_t=1|X_{t-1}=0,\ldots,X_1=0)\times\mathsf{P}(X_{t-1}=0,\ldots,X_1=0) \\ &=\frac{1}{100-(t-1)}\times\binom{99}{t-1}\binom{100}{t-1}^{-1}=\frac{1}{100}. \end{align} Por lo tanto, el tiempo de parada de $T$ es distribuido uniformemente en $\{1,\ldots,100\}$ y su media es $50.5$. Ya que en cada paso se suelta $1$\$, the mean loss is $6-50.5=-44.5$.