Una pregunta interesante, y tiene una respuesta clara para los espacios compactos de Hausdorff. A saber, el jugador II puede ganar en un espacio compacto de Hausdorff $X$ si $X$ contiene un subconjunto perfecto no vacío (un subconjunto cerrado sin puntos aislados).
En primer lugar, supongamos que $X$ tiene un subconjunto perfecto no vacío $A$ . También podemos suponer $X=A$ entonces (si el jugador I elige un punto fuera de $A$ , sólo tienes que elegir $X\setminus A$ como conjunto abierto), de modo que $X$ es perfecto. Ahora bien, ten en cuenta que si $U\subseteq X$ está abierto, entonces $U$ tampoco tiene puntos aislados, por lo que $\overline{U}$ también es perfecto. Así, cuando el jugador I elige un punto $x_1$ Aquí está lo que puede hacer el Jugador II. Desde $x_1$ no está aislado, existe otro punto $y\in X$ . Desde $X$ es Hausdorff, hay conjuntos abiertos disjuntos $U,V\subset X$ con $x_1\in V$ y $y\in U$ . El jugador II elige entonces $U_1=X\setminus \overline{U}$ .
Ahora $A=\overline{U}$ es de nuevo un subconjunto perfecto no vacío de $X$ y, por tanto, podemos volver a sustituir $X$ con este subconjunto para los siguientes turnos. Así, el jugador II puede continuar el juego durante cualquier número de turnos, asegurándose de que después de cada turno siga habiendo un conjunto perfecto no vacío que no haya sido cubierto por los conjuntos abiertos elegidos hasta ahora. Por compacidad, los conjuntos abiertos tampoco pueden cubrir todo el espacio después de infinitos pasos, por lo que el jugador II gana.
Por el contrario, supongamos que $X$ no tiene ningún subconjunto perfecto no vacío. Recordemos que la derivada de Cantor-Bendixson $X'$ de $X$ es el complemento del conjunto de puntos aislados de $X$ . Podemos entonces iterar este proceso transfinitamente, definiendo $$X_0=X,$$ $$X_{\alpha+1}=X_\alpha',$$ y $$X_\alpha=\bigcap_{\beta<\alpha}X_\beta$$ cuando $\alpha$ es un ordinal límite. Cada $X_\alpha$ es un subconjunto cerrado de $X$ y $X_{\alpha+1}$ es siempre un subconjunto propio de $X_\alpha$ (a menos que $X_\alpha$ está vacío) ya que $X_\alpha$ no es perfecto. Por lo tanto, debe existir algún ordinal $\alpha$ tal que $X_\alpha=\emptyset$ . El menor de estos $\alpha$ será un sucesor, y su predecesor $\beta$ se llama Rango de Cantor-Bendixson de $X$ .
Ahora demostramos que el jugador I tiene una estrategia ganadora, por inducción en el rango de Cantor-Bendixson $\beta$ . Tenga en cuenta que, dado que $X_{\beta+1}=\emptyset$ , $X_\beta$ es un espacio discreto, que debe ser finito por compacidad. Así, el jugador I utiliza su primer $|X_\beta|$ turnos para elegir cada uno de los puntos de $X_\beta$ . Después de esos giros, dejemos $Y\subset X$ sea el subespacio que aún no ha sido cubierto por los conjuntos abiertos elegidos. Está claro por inducción que $Y_\alpha\subseteq X_\alpha$ para todos $\alpha$ y así $Y_\beta=\emptyset$ desde $Y$ no contiene puntos de $X_\beta$ . Así, $Y$ tiene un rango de Cantor-Bendixson menor que $\beta$ . Así que, por inducción, el jugador I puede ganar el juego en $Y$ . Como ya han cubierto todos los puntos de $X\setminus Y$ Esto es suficiente para ganar el juego en $X$ .
(De hecho, podemos relajar la suposición de que $X$ es un poco Hausdorff compacto. Para que el jugador II gane por el primer argumento, sólo necesitamos que $X$ para contener un subconjunto Hausdorff cerrado no vacío sin puntos aislados. Y para que el jugador I gane por el segundo argumento, sólo necesitamos $X$ sea compacto y no contenga ningún subconjunto perfecto no vacío).
