Interpretación geométrica de la suma de números factoriales.

Question

Estoy en la necesidad de una forma de representar la suma

$1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33$

de manera geométrica. Lo que quiero decir con esto es que por ejemplo, la suma

$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$

se puede representar geométricamente como una pirámide con capas que consta de 1, 4, 9 y 16 piezas respectivamente una forma regular. Imagen de la Wikipedia para ilustrar la construcción geométrica de los números al cuadrado.

He tratado de encontrar un patrón regular para la construcción de una figura geométrica a partir de los factoriales de los números, pero fue en vano. Cómo podría hacerse esto?

También, a una pregunta de seguimiento: Es allí una manera de representar el factorial de los números hasta un número arbitrario $n!$, en lugar de poner fin a $4!$ como se indica en esta pregunta? (menos importante, pero interesante de todas formas)

Gracias de antemano!

EDIT: la que probablemente sea La parte más importante es que el 1, 2, 6 y 24 son discretos y un poco separados unos de otros, como las diferentes capas en la comparación entre el te de la suma de cuadrados (ver enlaza la imagen de arriba).

Answer 1

La única idea que se me ocurrió fue contando el número de vértices en un gráfico del árbol que había ramificación proporciones de $2, 3, 4, \ldots$, por lo que el número de vértices en cada nivel se $1!, 2!, 3!, 4!, \ldots$.

Si usted necesita más capas ($n=6$), es posible que desee un diseño diferente (gracias a @HenrikSchumacher):

Radial de la incrustación es muy elegante y útil ($n=6$):

Quizás una representación tridimensional sería conveniente:

La respuesta a tu pregunta "También, a una pregunta de seguimiento: Es allí una manera de representar el factorial de los números hasta un número arbitrario de n!, en lugar de poner fin a las 4! como se indica en esta pregunta?" es:

$$\sum\limits_{n=1}^k n! = (-1)^{k+1} \Gamma (k+2) \text{Subfactorial}[-k-2]-\text{Subfactorial}[-1]-1$$

Answer 2

Funciones polinómicas de grado $d$ puede ser representada en un espacio de $d$ dimensiones, utilizando segmentos, cuadrados, cubos, a continuación, hypercubes. Por ejemplo, el cuadrado piramidal números pueden ser sketeched en 3D como una pila de cuadrados.

Esto no generalizar a factoriales, ya que son de "unbounded grado" y requeriría un número ilimitado de dimensiones.

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Incluso si usted encuentra un truco para limitar el número de dimensiones, el valor de los números rápidamente se convierte en inmanejable ($10!=3628800$).