Identidades similares a$\arctan(x)+\arctan(1/x)=\pi/2$

Question

El $\arctan(x)+\arctan(1/x)=\pi/2$ (para $x>0$) la identidad puede ser resuelto por tomar la derivada de la izquierda, muestra de ello es $0$, y, a continuación, conectar, por ejemplo, $x=1$ para obtener su valor constante $\pi/2$.

Hay otros (no trivial) identidades que puede ser resuelto de una forma similar? Estoy esperando algo un 1er semestre Cálculo estudiante puede resolver... así que no es demasiado difícil, por favor!

Answer 1

PS

Answer 2

Si conocemos $\sin'(x)=\cos(x)$ y $\cos'(x)=-\sin(x)$ , entonces podemos calcular $$ \ frac {d} {dx} \ big [\ sin ^ 2 (x) + \ cos ^ 2 (x) \ big] = 0, $$ para concluir $\sin^2(x)+\cos^2(x)$ es constante. Luego inserte un valor para obtener $$ \ sin ^ 2 (x) + \ cos ^ 2 (x) = 1 $$

Answer 3

En mi experiencia, muchas de las identidades pueden ser derivados con similares derivados trucos (aunque podría decirse que a veces, las identidades han sido utilizados para obtener los derivados ...).

Ejemplos:

$\ln(ax) = \ln(a) + \ln(x)$

(donde $a,x >0$, pero la tratamos $a$ como una constante y $x$ como variable).

$\sin^2(x)+\cos^2(x) =1.$

Aún más: Si usted nota que

$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$ y

$\sin(2x) = 2\cos(x)\sin(x)$

son los derivados de cada una de las otras, tiene que memorizar sólo uno de ellos.

Extender la pregunta a las desigualdades, dejé que mi cálculo estudiantes demostrar la AM-GM-desigualdad (bueno, la básica del caso de dos variables) al mostrar que para cualquier $a > 0$, la función

$f(x) = \frac12 (a+x) - \sqrt{ax}$ es el aumento en $[a, \infty)$ (e $f(a) = 0$).

Answer 4

Si desea identidades de arctangent similares, puede comenzar observando cómo $$\arctan x+\arctan\left(\frac {1-x}{1+x}\right)=\frac {\pi}4$$Similarly$$\arctan x+\arctan\left(\frac {2-x}{1+2x}\right)=\arctan 2$$If we try replacing two with three, we get that$$\arctan x+\arctan\left(\frac {3-x}{1+3x}\right)=\arctan 3$$Therefore, it's safe to say that$$\arctan x+\arctan\left(\frac {n-x}{1+nx}\right)=\arctan n$ PS

Answer 5

La prueba de $x>0$ puede ser obtenida de la siguiente manera

• deje $\alpha=\arctan x \quad x\in\left(0,\frac{\pi}2\right)$

entonces

$$\tan\left(\frac{\pi}2-\alpha\right)=\frac1{\tan \alpha}=\frac1x \implies \frac{\pi}2-\alpha =\arctan \frac1x$$

Otro de similar identidad es

$$\arcsin x + \arccos x=\frac{\pi}2 \quad \forall x\in[-1,1]$$

lo que puede ser demostrado por $\cos\left(\frac{\pi}2-\alpha\right)=\sin \alpha$.

El uso de derivados podemos probar básicos de importantes desigualdades como

• $\tan x\ge x\quad x\ge 0$
• $\sin x\le x\quad x\ge 0$
• $\sin x\ge x-x^3/6\quad x\ge 0$
• $\cos x \ge 1-\frac12 x^2$

y así sucesivamente.