Demostrando que $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{f(n)}\right)^{g(n)} = 1$

Question

Quiero demostrar que $$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{f(n)}\right)^{g(n)} = 1$$ si $f(n)$ crece más rápido que $g(n)$ para $n\to\infty$ y $\lim_{n\to\infty} f(n) = +\infty = \lim_{n\to\infty}g(n)$ .

Es bastante fácil ver que si $f = g$ el límite es $e$ pero no encuentro una buena estrategia para resolver este problema.

Answer 1

Podemos usar eso $$ \left(1+\frac{1}{f(n)}\right)^{g(n)} =\left[\left(1+\frac{1}{f(n)}\right)^{f(n)}\right]^{\frac{g(n)}{f(n)}}$$

Answer 2

Eso depende de cómo se defina crecer más rápido que. Pero si implica que $\lim_{n\to\infty}\frac{g(n)}{f(n)}=0$ entonces \begin{align}\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{f(n)}\right)^{g(n)}&=\lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac1{f(n)}\right)^{f(n)}\right)^{\frac{g(n)}{f(n)}}\\&=e^0\\&=1.\end{align}

Answer 3

Usted tiene $$ \left(1+\frac{1}{f(n)}\right)^{g(n)} = \exp\left(g(n) \ln \left(1+\frac{1}{f(n)}\right) \right) $$ Desde $\lim_{n\to\infty} f(n) = \infty$ tenemos $$ g(n) \ln \left(1+\frac{1}{f(n)}\right) = g(n)\cdot \left(\frac{1}{f(n)} + o\left(\frac{1}{f(n)}\right)\right) = \frac{g(n)}{f(n)} + o\!\left(\frac{g(n)}{f(n)}\right) $$ y por su suposición de que $f$ "crece más rápido que $g$ ", esto converge a $\ell=0$ (el resultado se mantiene mientras $\lim_{n\to\infty} \frac{g(n)}{f(n)}$ existe, no necesariamente $0$ ).

Entonces, $$ \lim_{n\to\infty }\left(1+\frac{1}{f(n)}\right)^{g(n)} = e^0 = 1. $$

Answer 4

Tenga en cuenta que

$$\lim_{n \to \infty}\frac{g(n)}{f(n)} = 0 \implies \bigg(1+\frac{1}{f(n)}\bigg)^{g(n)} = \Biggl[\bigg(1+\frac{1}{f(n)}\bigg)^{f(n)}\Biggl]^{\frac{g(n)}{f(n)}} = e^\frac{g(n)}{f(n)} \to e^0 = 1$$

Answer 5

Tomando logaritmos basta con demostrar que el límite del logaritmo es cero. Para ello hay que tener en cuenta que $$ g(n)\log\left(1+\frac{1}{f(n)}\right)=\frac{g(n)}{f(n)}\frac{\log\left(1+\frac{1}{f(n)}\right)}{1/f(n)}\to0 $$ desde $$ \frac{g(n)}{f(n)}\to0 $$ como $f$ crece más rápido que $g$ y para el segundo término utilizar el hecho $1/f(n)\to0$ y $$ \lim_{x\to0}\frac{\log (1+x)-0}{x-0}=1 $$ por definición de la derivada.