Cómo calcular la integral:$$\lim_{\varepsilon\rightarrow 1}\int_0^\varepsilon \int_0^z \int_0^y\frac 1 {1-x^3} \, dx \, dy \, dz\quad?$ $
Una solución es acerca de series infinitas, pero no entiendo completamente esa solución. ¿Algún otro enfoque?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
\begin{align} & \int_0^\varepsilon \left( \int_0^z \left( \int_0^y\frac 1 {1-x^3} \, dx\right) \, dy\right) \, dz \\[12pt] = {} & \iiint\limits_{0 \,\le\,x\,\le\,y\,\le\,z\,\le \, \varepsilon } \frac 1 {1-x^3} \,d(x,y,z). \end{align} Desde el más íntimo de la función depende de la $(x,y,z)$ sólo a través de la $x$, poniendo a $\displaystyle \int \cdots\,dx$ en el exterior, lo que significan en el interior estamos integración de la constante de funciones, de modo que podría ser más sencillo.
A partir de la expresión $$ 0 \le x\le y\le z\le\varepsilon \tag 1 $$ llegamos $0\le x\le \varepsilon,$, por lo que tenemos $$ \int_0^\varepsilon \cdots\,dx. $$ Luego de $(1)$ obtenemos $x\le y \le\varepsilon,$, por lo que tenemos $$ \int_0^\varepsilon \left( \int_x^\varepsilon \cdots\,dy \right) dx. $$ Luego de $(1)$ tenemos $y\le z\le\varepsilon,$, por lo que tenemos $$ \int_0^\varepsilon \left( \int_x^\varepsilon \left( \int_y^\varepsilon \cdots \,dz \right) dy \right) dx. $$ Así tenemos \begin{align} & \int_0^\varepsilon \left( \int_x^\varepsilon \left( \int_y^\varepsilon \frac 1 {1-x^3} \,dz \right) dy \right) dx \\[10pt] = {} & \int_0^\varepsilon \int_x^\varepsilon \frac{\varepsilon-y}{1-x^3}\,dy\,dx \\[10pt] = {} & \frac 1 2 \int_0^\varepsilon \frac{(\varepsilon-x)^2}{1-x^3} \, dx \end{align} Si $\varepsilon=1,$ \begin{align} & \frac{(\varepsilon-x)^2}{1-x^3} = \frac{(1-x)(1+x)}{(1-x)(1+x+x^2)} \\[10pt] = {} & \frac{1+x}{1+x+x^2} = \underbrace{\frac{1/2}{1+x+x^2}}_{\Large\text{complete the square, etc.}} + \underbrace{\frac{(1/2) + x}{1+x+x^2}}_{\Large\text{routine substitution}} \end{align} En este punto me gustaría reflexionar sobre la pregunta de por qué fue expresado como $\lim\limits_{\varepsilon\to1}.$
