¿Dimensión de Hausdorff del conjunto de Cantor por intervalo?

Question

¿Cuál es la dimensión de Hausdorff del conjunto $C \times I \subset \mathbb{R}^2$ donde $C$ es el conjunto estándar de Cantor y $I$ ¿es el intervalo unitario? Sé que $dim_H (C) = \frac{ln2}{ln3}$ y siento que debería haber algún argumento fácil aquí, pero no lo veo.

Answer 1

El argumento habitual para el conjunto cantor utiliza la autosimetría. El conjunto de Cantor (tercios medios) se construye cortando el intervalo unitario en tercios, eliminando la sección central, repitiendo la construcción en los intervalos restantes y continuando el proceso. El conjunto de puntos que no se eliminan en este proceso son precisamente los puntos de $C$

En el primer paso del proceso anterior (eliminar el tercio central del intervalo de la unidad) te quedan dos intervalos. Estos intervalos se dividen de forma natural en $C$ en una unión disjunta $C_0\cup C_1=C$ donde $C_0$ es el conjunto de puntos que quedan después de continuar el proceso en el intervalo $[0,1/3]$ y $C^1$ es el mismo para $[2/3,1]$ . Si consideramos el volumen (Hausdorff) de estos conjuntos, observamos que $V(C_0)=V(C_1)$ ya que $C_0$ es una copia de $C_1$ . Por la partición que hemos descrito anteriormente, por lo tanto deberíamos tener $$V(C)=V(C_0)+V(C_1)=2V(C_0)\;.$$ Si escalas $C_0$ por un factor de 3, entonces por auto similitud, ves que obtienes $C$ otra vez. En un $d$ -espacio dimensional, el volumen escala como $\lambda^d$ donde $\lambda$ es el factor de escala. Para el conjunto de Cantor, esto nos da $$V(C)=3^dV(C_0)\;.$$ Combinando esto con la ecuación anterior se obtiene $$2V(C_0)=3^dV(C_0)\Rightarrow 2=3^d\;.$$ Resuelves eso para la dimensión y obtienes $d=\log(2)/\log(3)$ .

Ahora, hagamos el mismo truco para $I\times C$ . Todo funciona igual, pero cuando se escala por un factor de 3, ya no se obtiene $C\times I$ se obtiene $(C\times 3I)$ . Entonces, $$3*2V(C_0\times I)=3^dV(C_0\times I)\Rightarrow 1+\log(2)/\log(3)=d\;,$$ que es lo que se espera.