Pregunta sobre los números de Betti

Question

Definición del número de Betti en http://en.wikipedia.org/wiki/Betti_number

El $n^{th}$ El número de Betti representa el rango del $n^{th}$ grupo de homología, denotado $H_n$ " que nos indica la cantidad máxima de cortes que se pueden hacer antes de separar una superficie en dos trozos "

¿Es cierto para todos $n$ o sólo para $n=1$ ? ¿Qué significa "separar una superficie en dos partes"? ¿Está relacionado con los componentes conectados?

Answer 1

"Cortar una superficie en dos trozos" corresponde al caso de un $2$ -(= superficie) y $n=1$ En general, es el resto de la frase: "dos piezas o ciclos 0, ciclos 1, etc."

En el caso de una superficie y $n=1$ el primer número de Betti $b_1$ corresponde a cuántos "cortes" puede hacer antes de obtener más de un componente conectado.

• Con una esfera, $b_1 = 0$ y no se puede hacer ningún corte (en forma de curva cerrada, básicamente un círculo) sin separar la esfera en dos componentes conectados.
• Con un toroide, $b_1 = 2$ y puedes hacer dos cortes (en forma de círculo) y seguir manteniendo un solo componente conectado (intenta visualizarlo). Si haces tres, obtendrás al menos dos componentes.

Tenga en cuenta que esto es sólo una explicación informal, y con el aumento de $n$ cada vez es más difícil entender lo que $b_n$ "medios" (cuántas veces puede cortar su espacio con un $n$ -ciclo y seguir manteniendo uno $(n-1)$ - "pieza").