Geométricamente, ¿cuál es la proyección estereográfica de un cerrado $n$-ball?

Question

Para mostrar $\overline{B^n}$ es un $n$-múltiple con límite, al parecer hay un truco para utilizar la proyección estereográfica después de restar al radio $0$ de conexión al Polo Norte.

Estoy familiarizado con la interpretación geométrica de la proyección estereográfica de $S^n-N$, pero no con una bola cerrada en $\mathbb{R}^n$. ¿Cuál es la proyección estereográfica de una bola cerrada?

Answer 1

Probablemente usted está buscando en la primera edición de Introducción a los múltiples topológicos. Me di cuenta que mi sugerencia "utilizar la proyección estereográfica" no era muy útil, por lo que en la segunda edición amplié en él:

Considerar el mapa $\pi\circ\sigma^{-1}\colon\mathbb R^n\to \mathbb R^n$, donde $\sigma$ es la proyección estereográfica y $\pi$ es una proyección de $\mathbb R^{n+1}$ $\mathbb R^n$ que omite algunas coordenadas que no sea la última.

Answer 2

Creo que de la pelota como foliada por esferas concéntricas de radios. La eliminación de la radio que une el centro del polo norte, se quita el polo norte de cada uno de ellos. Ahora el proyecto de cada uno de ellos stereographically en $\mathbb{R}^{n-1}\times\{x_n\}\subset\mathbb{R}^{n}$ de tal manera que la frontera de la bola corresponde a $x_n=0$ $x_n$ crece a $\infty$ como el radio enfoques $0$. Esto le da un gráfico que los mapas de la pelota con un radio eliminado en la mitad superior del espacio, con el límite de la esfera que se asigna en su delimitación hyperplane $\mathbb{R}^{n-1}\times\{0\}$.