Encontrar la transformada de Fourier de $\frac{x}{(x^2 + 4)^2}$

Question

Para tener este $$ de la función f (x) = \frac{x} {(x ^ 2 + 4) ^ 2} $ y tiene que encontrar su transformada de Fourier.

Esto es sin embargo mucho más difícil que lo que he hecho antes así que no tiene una pista de dónde empezar. He fijamente durante 2 horas y llegar a nada. Sé que \mathfrak{F}(\xi) $$ = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-i \xi x} f (x) dx $$ pero esto es en cuanto me sale. ¡Agradecido por cualquier ayuda!

Answer 1

Podemos utilizar el residuo de cálculo aquí para encontrar el valor integral: $$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-i \xi x}f(x)dx = \int_\gamma e^{-i \xi z} \cdot \frac{z}{(z^2 + 4)^2}dz $$

los que tienen el doble de la pol $z = \pm 2i \Rightarrow z_1 = (z-2i)^{-2}, z_2 = (z + 2i)^{-2}$.

Necesitamos encontrar los residuos para $$ e^{-i \xi z}f(z) = (z - 2i)^{-2}ze^{-i \xi z}(z + 2i)^{-2} = (z - 2i)^{-2}g(z) $$ donde nos vamos $$ g(z) = e^{-i \xi z}(z+2i)^{-2}z $$ la diferenciación de los rendimientos

$$ g'(z) = e^{-i \xi z}((z+2i)^{-2} - i \xi z(z + 2i)^{-2} - 2z(z + 2i)^{-3}) $$

inserción de $z = 2i$ rendimientos $$ e^{2 \xi}((4i)^{-2} + 2 \xi(4i)^{-2} - 2\cdot 2i(4i)^{-3}) = -\frac{1}{8} \xi e^{2 \xi} $$ así $$ Res_{z = 2i} e^{-i \xi z}f(z)) = \frac{g'(2i)}{1!} = -\frac{1}{8} \xi e^{2 \xi} $$ e igualmente $$ Res_{z = -2i} e^{-i \xi z}f(z)) = \frac{g'(2i)}{1!} = \frac{1}{8} \xi e^{-2 \xi} $$

y, finalmente, la transformada de Fourier está dada por $$ \mathfrak{F}(\xi) = \left\{ \begin{array}{l l} 2 \pi i (- \frac{1}{8} \xi e^{2 \xi}) = - i \xi \frac{\pi}{4} e^{2 \xi}, & \xi \lt 0\\ -2 \pi i (\frac{1}{8} \xi e^{-2 \xi}) = - i \xi \frac{\pi}{4} e^{-2 \xi}, & \xi \gt 0 \end{array} \right. $$

y para concluir $$ \mathfrak{F}(\xi) = -i \xi \frac{\pi}{4} e^{-2 |\xi|} $$

Answer 2

Algo fácilmente uno puede computar el integral de residuos. Por ejemplo, $\xi\geq0$ podemos escribir\begin{align} \mathfrak{F}(\xi)=-2\pi i\cdot \operatorname{res}{z=-2i}\frac{ze^{-i\xi z}}{(z-2i)^2(z+2i)^2} =-2\pi i \cdot\left(\frac{ze^{-i\xi z}}{(z-2i)^2}\right)'{z=-2i}=-\frac{\pi i}{4}\xi\, e^{-2\xi}. \end{align} pero ya que la respuesta debe ser una función impar de $\xi$ (¿por qué?), da el resultado general $\xi\in\mathbb{R}$ %#% $ #%

Answer 3

La función ${\displaystyle {x \over (x^2 + 4)^2}}$ es ${\displaystyle -{1 \over 2}}$ veces el derivado de ${\displaystyle {1 \over x^2 + 4}}$, así que su transformada de Fourier será ${\displaystyle -{i \xi \over 2}}$ veces la transformada de Fourier de ${\displaystyle {1 \over x^2 + 4}}$. Éste es estándar y se da en ${\displaystyle {\pi \over 2} e^{-2|\xi|}}$. (Para comprobar esto, puedes simplemente calcular la inversa de Fourier directamente utilizando cálculo básico).

Por lo tanto la transformada de Fourier deseada es ${\displaystyle -{i \xi \over 2}}$ veces ${\displaystyle {\pi \over 2} e^{-2|\xi|} = {-{i \xi\pi \over 4} e^{-2|\xi|}}}$.