Demostrando condiciones para ángulos en dos triángulos con un ángulo igual

Question

Si en triángulos $ABC$$DEF$,$\angle BAC = \angle EDF$$AB:DE = BC:EF$. Entonces demostrar que cualquiera de las $\angle ACB + \angle DFE = 180^\circ$ o $\angle ACB = \angle DFE$.

Mi intento:

Si $\angle ABC = \angle DEF$, entonces los dos triángulos son semejantes y, por tanto,$\angle ACB = \angle DFE$. Si $\angle ABC \neq \angle DEF$ a continuación, vamos a $\angle ABC > \angle DEF$. Tenemos, $$\angle ACB + \angle DFE = \angle ACB + (\angle ACB + \angle ABC - \angle DEF)$$ $$= 180^\circ - \angle BAC + \angle ACB - \angle DEF$$ Así que todo se reduce a probar que $\angle ACB = \angle BAC + \angle DEF$. ¿Cómo puedo hacer eso?

Este es un diagrama de el segundo caso

Answer 1

Por la regla de pecado $$ \ frac {EF} {BC} = \ frac {\ frac {EF} {\ sin \ angle D}} {\ frac {BC} {\ sin \ angle A}} = \ frac {\ frac {DE} {\ sin \ angle DFE}} {\ frac {AB} {\ sin \ angle ACB}}. $$ De ahí $$ \ sin \ angle DFE = \ sin \ angle ACB $$ que es equivalente a la reclamación.