Esto viene como parte de una cuestión más amplia de la que muestra un compacto $n$-dimensiones del colector puede ser sumergido en $\mathbb{R}^{2n-1}$, excepto en un número finito de puntos.
Supongamos $X$ es un compacto, $n$-dimensiones múltiples. Deje $f\colon X\to\mathbb{R}^{2n}$ ser una inmersión. Dicen que usted tiene un mapa de $F\colon T(X)\to\mathbb{R}^{2n}$$F(x,v)=df_x(v)$, con un valor regular $a$. Estoy interesado en saber por qué la preimagen $F^{-1}(a)$ es necesariamente finito. Después de esto, creo que tengo una idea para mostrar $X$ puede ser sumergido en $\mathbb{R}^{2n-1}$, excepto en $F^{-1}(a)$.
Así que creo que es suficiente para mostrar que $a$ tiene sólo un número finito de preimages en $\{(x,v):|v|\leq 1\}$ en la tangente bundle $T(X)$. Hacia el contrario, supongamos que hay infinitamente muchos preimages $(x_i,v_i)$. Por compacidad, hay una secuencia convergente tal que $x_i\to x$$v_i/|v_i|\to w$. Al parecer, esto implica $df_x(w)=0$, pero ¿cómo se da esto una contradicción?
Por linealidad, encontrar la ecuación de $$ F(x_i,v_i/|v_i|)=df_{x_i}(v_i/|v_i|)=/|v_i| $$ Es la idea de que podemos, sin pérdida de generalidad supongamos que $|v_i|\to\infty$, así como $i\to\infty$, $df_x(w)=0$? Pero ¿por qué ese espectáculo $F^{-1}(a)$ es finito? Gracias.
