Cómo probar $GL^+ (2, \mathbb{R})$ está conectado

Question

Busco demostrar que el conjunto de $2\times 2$ matrices con determinante positivo está conectado. Entiendo que el conjunto de matrices invertibles $2\times 2$ Sin embargo, las matrices están desconectadas ya que el determinante no puede ser igual a cero.

Sé que mi objetivo es demostrar que $GL^+ (2,\mathbb{R})$ no puede escribirse como una Unión disjunta de dos subconjuntos abiertos y no vacíos. ¿Cómo lo hago?

Gracias

Answer 1

El proceso de Gram-Schmidt nos permite hacer que una deformación se retraiga de $GL^+(2,\mathbb{R})$ a $SO(2)$ . Desde $SO(2) \simeq S^1$ se deduce que $SO(2)$ está conectada por un camino y por lo tanto $GL^+(2,\mathbb{R})$ también debe serlo.

Este argumento se puede generalizar para demostrar que $GL^+(n,\mathbb{R})$ está conectado, utilizando el hecho de que $SO(n)$ está conectada (lo que puede deducirse, por ejemplo, del hecho de que las esferas están conectadas, pero éste es un argumento aparte).

Answer 2

En caso de que quiera una ruta explícita :

dejar $M \in GL^+(2,\mathbb{R}), M = \pmatrix{ a & b\\ c & d}$

Mi objetivo es demostrar que cualquier matriz de $GL^+(2,\mathbb{R})$ puede conectarse a $I$ es decir, que $\forall M \in GL^+(2,\mathbb{R}), \exists f(t) \in C^0, \forall t \in [0;1] f(t)\in GL^+(2,\mathbb{R}), f(0) = M, f(1)=I$

Sabemos que $\det(M)=ad-cb>0$

Así que $ad > 0$ o $cb < 0$

Ahora tenemos que considerar dos casos:

1) si $ad > 0$

dejar $M' = \pmatrix{ a & 0\\ 0 & d}$ y $f(t)=tM+(1-t)M'$

$M' \in GL^+(2,\mathbb{R})$ y $f(t) \in GL^+(2,\mathbb{R}) \forall t \in [0;1]$

1.1) Si $a>0$ entonces $d>0$ y $M'$ se conecta fácilmente a $I$ a través de $g(t)=tM'+(1-t)I$

1.2) Si $a<0$ entonces $d<0$ entonces deja que $\epsilon >0$ y $M_\epsilon=\pmatrix{ a & \epsilon\\ -\epsilon & d}$ que está conectado a $M'$ , $M_\epsilon$ puede conectarse a $I$ utilizando la instrucción de la sección 2

2) Si $cb <0$

dejar $M'=\pmatrix{ 0 & b\\ c & 0}\in GL^+(2,\mathbb{R})$ que está conectado a $M$ a través de $f(t) = tM+(1-t)M'$

entonces considera $M''=\pmatrix{ 1 & b\\ c & 1}\in GL^+(2,\mathbb{R})$ que está conectado a $M'$ a través de $g(t) = tM'+(1-t)M''$

Al final $M''$ está conectado a $I$ a través de $h(t)=tI+(1-t)M''$

Conclusión

Si $A$ está conectado a $B$ y $B$ está conectado a $C$ entonces $A$ está conectado a $C$ . Lo que significa que cualquier matriz puede ser conectada a $I$ . En definitiva, $GL^+(2,\mathbb{R})$ está conectado

Answer 3

Si $det(M)= det(N)$ entonces $M= SN$ para algunos $S\in SL(2,\mathbb{R})$ .

En particular, teniendo en cuenta $M\in GL^+(2,\mathbb{R})$ con determinante $D$ , $M = S \pmatrix{ 1 & 0\\ 0 & D}$ para algunos $S\in SL(2,\mathbb{R})$ . Como $D>0$ hay un camino $\gamma$ en $\mathbb{R}_+^*$ conectando $D$ y $1$ . Por lo tanto, $t\mapsto S \pmatrix{ 1 & 0\\ 0 & \gamma(t)}$ es un camino en $GL^+(2,\mathbb{R})$ conectando $M$ y $S$ .

Ahora $SL(2,\mathbb{R})$ está atravesada por las matrices de transvección $I_2 + \alpha E_{i,j}$ para $i\neq j$ . Denotamos con $T_{i,j}(\alpha)$ tal matriz. Entonces, claramente, $t\mapsto T_{i,j}(t\alpha)$ es un camino en $SL(2,\mathbb{R})$ conectando $I_2$ y $T_{i,j}(\alpha)$ . Así que cualquier producto de esas matrices está conectado a $I_2$ en $SL(2,\mathbb{R})$ .

En particular, cualquier matriz en $SL(2,\mathbb{R})$ está conectado en $SL(2,\mathbb{R})(\subset GL^+(2,\mathbb{R}))$ a $I_2$ . Es el caso de $S$ . Por lo tanto, $M$ también está conectado a $I_2$ . Por lo tanto, $GL^+(2,\mathbb{R})$ está conectada por un camino, por lo tanto, está conectada.

Por supuesto, esto se generaliza a $GL^+(n,\mathbb{R})$