Su condición es equivalente a la eliminación de los cuantificadores "cuantificadores sobre el algebraicas cierre".
Digamos que un existencial es la formula explícitamente algebraicamente delimitada existencial (EABE) si es cuantificador libre, o si tiene la forma $\exists x\,(\varphi(x,\overline{y})\land \exists^{\leq k} z\, \varphi(z,\overline{y}) \land \theta(x,\overline{y}))$ donde $\theta$ es EABE, $\varphi$ es cualquier fórmula, y $k\in \omega$.
Para cualquier tupla $\overline{a}$, dejar que el EABE tipo de $\overline{a}$, $\text{tp}^{\text{EABE}}(\overline{a})$ ser el subconjunto de $\text{tp}(\overline{a})$ que consta sólo de combinaciones Booleanas de EABE fórmulas. Tenga en cuenta que el EABE tipo de $\overline{a}$ incluye la información acerca de que las fórmulas algebraicas: si $\varphi(x,\overline{a})$ es algebraica, a continuación, $\text{tp}^{\text{EABE}}(\overline{a})$ incluye la fórmula $\exists x\,(\varphi(x,\overline{a})\land \exists^{\leq k} z\, \varphi(z,\overline{a}) \land \top(x,\overline{a}))$ algunos $k$, mientras que si $\varphi(x,\overline{a})$ no es algebraico, $\text{tp}^{\text{EABE}}(\overline{a})$ contiene la negación de todas estas fórmulas.
Creo que me he fijado este correctamente de modo que $\text{tp}^{\text{EABE}}(\overline{a})$ exactamente describe el isomorfismo tipo de $\text{acl}(\overline{a})$, ya que se sabe que las fórmulas algebraicas, y para cada conjunto finito de fórmulas algebraicas, se pueden enumerar las realizaciones de estas fórmulas y describir el tipo de isomorfismo de la estructura generada por estos elementos. Dado que,
Reclamo: Su condición 1 es equivalente a la condición de que cada fórmula es equivalente a una combinación booleana de EABE fórmulas (y puede equivalentemente caída de la saturación de la condición en $M$$N$).
La implicación de mi condición a la suya (sin la condición de saturación) es fácil, ya que cualquier isomorfismo entre algebraicamente cerrado subconjuntos preserva la verdad de EABE fórmulas.
Por el contrario, dada su condición, tenemos que $\text{tp}(\overline{a})$ está determinada únicamente por su restricción a $\text{tp}^{\text{EABE}}(\overline{a})$, y por la costumbre de compacidad argumento tenemos cuantificador de eliminación abajo para combinaciones Booleanas de EABE fórmulas.
Es posible que por ser un poco más cuidadoso, que podría llegar con una mejor representación, especialmente en una teoría que elimina $\exists^\infty$. Por ejemplo, son arbitrarias combinaciones Booleanas de EABE fórmulas realmente necesario? Se puede controlar la forma de los testigos de fórmulas algebraicas (además de simplemente decir que son el equivalente a combinaciones Booleanas de EABE fórmulas)?
Un buen ejemplo de una teoría de estas propiedades es el CCPA. De hecho, en esta teoría, usted puede conseguir lejos con un solo el cuantificador existencial, algebraicas acotamiento dada por un polinomio, y no combinaciones Booleanas (véase el Terminaciones y QE sección de la página de la wiki).
No entiendo tu propuesta ejemplo, en la expansión de un estable teoría. ¿Por qué debería de $\mathcal{U}_1$ $\mathcal{U}_2$ incluso ser elementarily equivalente?
