El problema de la existencia de operaciones inversas de$a$ y$a^{\dagger}$

Question

Tengo una pregunta en matemáticas.stackexchange que tienen un significado físico.

Mi hipótesis: Supongamos $a$ $a^\dagger$ es Hermitian adjunto operadores y $[a,a^\dagger]=1$. Quiero demostrar que no hay inversa operadores para$a$$a^\dagger$.

Pensé que esta suposición puramente matemático, pero no tengo respuestas allí. Tal vez me estoy perdiendo algo?

Voy a aclarar que $a$ $a^\dagger$ son sólo la Creación y la aniquilación de los operadores para el oscilador armónico cuántico.

Answer 1

El estado fundamental del oscilador armónico $|0\rangle$ obedece $$a|0\rangle = 0$$ lo que significa que la acción de la $a$ no puede ser deshecho: una vez de actuar con ella en un estado, se establece a cero el coeficiente delante de $|0\rangle$ en la descomposición en la ocupación autoestados. Cualquier candidato a la inversa del operador $a^{-1}$ actuando en cero le dará cero una vez más, usted nunca conseguirá $0$ lo que implica que no hay ningún operador $a^{-1}$ que satisfagan $$ a^{-1}a = {\bf 1}.$$ Por otro lado, existe una relación inversa desde el lado opuesto que obedece $$aa^{-1} = {\bf 1}.$$ La acción de esta $a^{-1}$ $|n\rangle$ es simplemente definida como $|n+1\rangle/\sqrt{n+1}$ o lo que sea coeficiente es necesaria para una inversa. Puedo escribir esto de una cara inversa del operador como $a^\dagger (aa^\dagger)^{-1}$, que está bien definida debido a $aa^\dagger$ sólo tiene un valor distinto de cero autovalores.

Para $a^\dagger$, los reclamos son revertidos, por supuesto. Existe una relación inversa entre la que obedece $$ (a^{\dagger})^{-1} a^\dagger = {\bf 1}$$ pero no la otra.