¿Qué curvas son suficientes para garantizar la existencia de un límite?

Question

Para las funciones f de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ podemos definir el límite de $f ( x,y)$ como $(x,y)$ va a $(a,b)$ a lo largo de la curva $C$ para cualquier curva continua $C$ que pasa por (a,b). Y es un teorema que si el límite de $f(x,y)$ como $(x,y)$ va a $(a,b)$ a lo largo de $C$ existe y es igual para todas las curvas continuas $C$ de paso $(a,b)$ entonces el límite (no cualificado) de $f(x,y)$ como $(x,y)$ se acerca a $(a,b)$ también existe y es igual al límite a lo largo de todas esas curvas.

Mi pregunta es: ¿podemos debilitar esas condiciones? En otras palabras, ¿hay alguna clase más pequeña de curvas que pasen por $(a,b)$ para lo cual $f(x,y)$ ¿tener el mismo límite para ellos basta para garantizar la existencia del límite? No podemos limitarnos a las líneas que pasan por $(a,b)$ ya que existen ejemplos de funciones que tienen el mismo límite a lo largo de todas las líneas que pasan por un punto, pero un límite diferente a lo largo de alguna parábola. (Por ejemplo, $f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}$ para el punto $(0,0)$ y la parábola $y=x^2$ .) Y asumo que, de forma similar, el límite a lo largo de cualquier parábola podría ser el mismo, pero el límite a lo largo de alguna función cúbica podría ser diferente, y que de forma más general para cualquier $n$ existe una función que tiene el mismo límite para todas las curvas polinómicas de grado $n$ o inferior, pero tiene un límite diferente a lo largo de alguna curva polinómica de grado $n+1$ . (Por curva polinómica me refiero a la gráfica de una función polinómica o a la curva obtenida al girar la gráfica de dicha función alrededor del punto $ (a,b) $ .)

Suponiendo que tengo razón en todo eso, ¿qué pasaría si tomáramos la clase de curvas polinómicas de todos los órdenes? Entonces, ¿bastaría que la función tuviera un límite a lo largo de esas curvas para garantizar que el límite existe en general? O si eso no es suficiente, ¿qué pasa con la clase de curvas suaves o analíticas?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Dejemos que $f$ sea la función característica del conjunto $$A:=\left\{\left({1\over n},e^{-n}\right)\>\Biggm|\>n\geq 1\right\}\subset{\mathbb R}^2\ .$$ Lema. Cualquier curva $$t\mapsto\cases{x(t):=t\>p(t)&\cr y(t):=t\>q(t)&\cr }\qquad(t\geq 0)\tag{1}$$ con $p$ y $q$ funciones analíticas reales, $p(0)$ y $q(0)$ que no sean ambos cero, sólo pueden contener un número finito de puntos de $A$ .

Prueba. Tenga en cuenta que los puntos de $A$ se encuentran en la curva $$\epsilon:\quad y=e^{-1/x}\qquad(x>0)\ .$$ Dejemos que $\gamma$ sea cualquier curva $(1)$ . Si $p(0)=0$ entonces $|y(t)|>|x(t)|$ para todo lo que sea suficientemente pequeño $t$ , mientras que $|y|<|x|$ en $\epsilon$ . Cuando $p(0)\ne0$ podemos eliminar $t$ de $(1)$ y escribir $\gamma$ como gráfica de una función analítica real: $y(x)\equiv0$ o $$ y= x^r(a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots)\qquad(0\leq x<\rho)\ ,$$ donde $r\geq1$ y $a_0\ne0$ . En el segundo y más peligroso caso hay una $h>0$ con $$|y(x)|>{|a_0|\over 2}x^r>e^{-1/x}\qquad(0<x<h)\ .$$ Por lo tanto, la curva $\gamma$ no puede contener ningún punto de $A$ con ${1\over n}<h$ .

De este lema se deduce que $$\lim_{t\to 0+}f\bigl(x(t),y(t)\bigr)=0$$ para todas esas curvas, aunque $f$ no es continua en $(0,0)$ .