¿Cómo puedo obtener la negación de $\exists!$ (cuantificación existencial única)?

Question

¿Cómo puedo obtener la negación de $\exists!$ (cuantificación existencial única)? si es $\forall$, Entonces, si quiero volver a negar el último, obtendré $\exists$ ¡pero no es lo mismo que con lo que empezamos! ¿Hice algo mal aquí?

Por ejemplo: $$P : \exists! x\in \mathbb{R} \text{ tal que } x^2 = 0$$ significa $\exists x \in \mathbb{R}\text{ tal que } x^2 = 0\wedge x $ es único, Entonces la negación es $\forall x \in \mathbb{R}\space x^2 \ne 0 \vee x \text{ no es único}$ ¿es esta una falsa afirmación?

Answer 1

Creo que lo mejor es desempacar lo que $\exists !$ significa.

$\exists ! x \phi(x)$ es una abreviatura de $$\exists x (\phi(x) \wedge \forall y (\phi(y) \rightarrow y=x))$$

por lo tanto, al negar esto obtenemos $$\forall x(\neg \phi(x) \vee \exists y(\phi(y) \wedge y \ne x))$$ lo que significa: o bien ningún $x$ satisface $\phi$ o hay un $y$ distinto de $x$ que satisface $\phi$.

Esto tiene la forma $\forall x (\neg A \vee B)$, que es lo mismo que $\forall x(A \to B)$, por lo que podríamos escribir $$\forall x(\phi(x) \to \exists y(\phi(y) \wedge y \ne x))$$ lo que significa: si $x$ satisface $\phi$ entonces hay un $y$ distinto de $x$ que también lo hace. Esto se acerca más a cómo intuitivamente pensaría sobre la negación de $\exists!$.

Desafortunadamente no hay una forma muy concisa de escribirlo.

Answer 2

El símbolo $\exists !$ significa "existe uno único", y no es realmente una unidad, lleva dos condiciones: existencia y unicidad. La negación de $A$ y $B$ no es $A$ o no $B$, en símbolos:

$$\lnot (A \wedge B) = \lnot A \vee \lnot B.$$

La negación de "existe" es "no existe". La unicidad asume existencia, y su negación es pluralidad. Así que me parece que la negación es

No existe, o existen muchos, tales que...

Answer 3

Solo escríbelo, despliega definiciones y sigue empujando la negación hacia adentro

$\neg \exists ! x, P(x)$

$\neg \exists x, (P(x) \wedge (\forall y, P(y) \to y=x))$

$\forall x, \neg (P(x) \wedge (\forall y, P(y) \to y=x))$

$\forall x, \neg P(x) \vee \neg (\forall y, P(y) \to y=x)$

$\forall x, \neg P(x) \vee \exists y, \neg (P(y) \to y=x)$

$\forall x, \neg P(x) \vee \exists y, P(y) \wedge y\not = x$

Esto se puede interpretar como que para cada $x$ no debemos tener $P(x)$ o hay algún $y$ que satisface $P(y)$ que no es $x. Esto podría suceder si no hay absolutamente nada que satisfaga $P(x)$, o si hay múltiples cosas que lo satisfacen.

Answer 4

Usando la definición más simple de $\exists!$ que conozco, que es $$\langle \exists! x :: P(x) \rangle \;\equiv\; \langle \exists y :: \langle \forall x :: P(x) \equiv x = y \rangle \rangle \;,$$ la negación que estás buscando es $$\langle \forall y :: \langle \exists x :: P(x) \equiv x \not= y \rangle \rangle \;.$$

Answer 5

Toma $\exists! x : E(x)$ si quieres negar eso, tienes que tomar $\exists x : E(x) \Rightarrow \exists y\neq x : E(y)$.