Existencia de cada vez mayor secuencia $\{x_n\}\subset S$ $\lim_{n\to\infty}x_n=\sup S$

Question

Deje $S\subset\mathbb{R}$ ser un no-vacío delimitado por encima de conjunto. Entonces existe una monótona creciente secuencia $\{x_n\}\subset S$ tal que $$\lim_{n\to\infty}x_n=\sup S.$$

Yo estoy luchando con la creación de una prueba formal de este problema. Entiendo que esto tiene que ser cierto, pero no estoy seguro de cómo ir sobre la prueba.

Me dijo que $\sup S = C$ $x_n= C - y/n$ donde $y$ es dependiente del tamaño de $S$, pero esto es sólo un montón de ideas desordenadas y realmente no puedo pensar en una manera de formalizar una prueba. Cualquier idea, incluso totalmente diferente de la mía sería apreciada.

Answer 1

Set $s^ = \sup S$, si $s^ \in S$ $x_n = s^$ cada $n$por ciento y se realiza la prueba. Asumir así $s^ \notin S$. Por definición el supremum existe un elemento $x_1 \in S$ tal que $s^-x_1 \leq 1$. $x_1 \in S$, $x_1 \neq s^$ Y $0<s cada="" claro="" convergencia="" dado="" definici="" el="" encontrar="" entonces="" est="" evidentes:="" existe="" inducci="" monoton="" otra="" por="" puede="" que="" s="" se="" siempre="" sigue="" son="" supremum="" tal="" un="" vez="" x_="" x_2="" y=""></s>

Answer 2

Dejar $C=\sup S$. Si$C\in S$, la secuencia requerida es$C,C,C,\ldots$.

Supongamos que$C\not\in S$. $C-1$ no es un límite superior de$S$, así que hay algunos$x_1\in S$ con$C-1<x_1<C$. Para cada entero positivo$n$, habiendo elegido$x_n$, ya que ni$C-\frac{1}{n}$ ni$x_n$ es un límite superior de$S$, hay algunos$x_{n+1}\in S$ con $\max (C-\frac{1}{n+1},x_n)<x_{n+1}<C$. La secuencia requerida es entonces$x_1,x_2,x_3,\ldots$.

Answer 3

Aquí hay una idea general que puede implementar para escribir una prueba formal. Haz unos dibujos para comprender mejor.

Deje$c=\sup S$, luego elija$x_1 \in \left(c-1,c\right)$. Ahora elija$x_2$ tal que$x_2 \neq x_1$ y$x_2 \in \left(c-r_1,c \right)$, donde$r_1=c-x_1$. Ahora elija$x_3$ tal que$x_3 \neq x_1,x_2$ y$x_3 \in \left(c-r_2,c \right)$, donde$r_2=c-x_2$.

Este enfoque se encarga de que su secuencia sea "monótona".