Mostrando $\sum^\infty_{n=1} \frac 1 {e^{\sqrt n}} $ converge

Question

Mostrar que $\displaystyle\sum^\infty_{n=1} \frac 1 {e^{\sqrt n}}$ converge.

Mi intento:

Utilizando el límite de la relación de la prueba: $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac {e^{\sqrt n}} {e^{\sqrt {n+1}}}=\lim_{n\to\infty}\frac {e^{\frac n 2}} {e^{\frac {n+1} 2}}=\lim_{n\to\infty}\frac {e^{\frac n 2}} {e^{\frac n 2+\frac 1 2}}=\lim_{n\to\infty}\frac 1 {e^{\frac n 2+\frac 1 2-\frac n 2}}=e^{-0.5}$

Y desde $e^{-0.5}<1$ la serie converge.

Es que bien?

Answer 1

La correcta aplicación de la prueba de razón sería como sigue: $$ \begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac {e^{\sqrt n}} {e^{\sqrt {n+1}}}&= \lim_{n \to \infty} e^{\sqrt n - \sqrt{n+1}} \\ & = \exp\left[ \lim_{n \to \infty} \sqrt n - \sqrt{n + 1} \right] \\ & = \exp \left[ \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{\sqrt n + \sqrt{n + 1}} \right] = 1 \end{align*} $$ Así, el ratio de error en la prueba. De hecho, se podría utilizar la prueba de comparación con, por ejemplo, $\sum 1/n^2$. Basta con señalar que $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1/e^{\sqrt n}}{1/n^2} = 0 $$ Para demostrar lo anterior, hemos $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1/e^{\sqrt n}}{1/n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{e^{\sqrt n}} \desbordado{u = \sqrt n}{=} \lim_{u \to \infty} \frac{(u^2)^2}{e^u} = \lim_{u \to \infty} \frac{u^4}{e^u} $$ a partir de ahí, aplicar L'Hospital de la regla.

Answer 2

La prueba de condensación las obras aquí: si $f(n)$ es positiva y decreciente, entonces $\sum f(n)$ converge si y sólo si $\sum 2^n f(2^n)$ converge.

Si $f(n) = e^{-\sqrt{n}}$, entonces $2^n f(n) = 2^n e^{-\sqrt{2^n}} = e^{n \ln 2 -2^{n/2}} $. Desde $2^n > n^4$ para $n \ge 17$ (ver prueba en mi respuesta aquí: Demostrar que $n^k < 2^n$ para todos lo suficientemente grande como $n$), $ 2^{n/2} > n^2 $ así $e^{n \ln 2 -2^{n/2}} <e^{n \ln 2 -n^2} <e^{-n(n- \ln 2)} $ y la suma de estos claramente converge.

Nota: El resultado demostró que hay es esto:

Si $n$ $k$ son enteros y $k≥2$$n≥k^2+1$,$2^n>n^k$.

Answer 3

$$ \begin{split} \displaystyle\sum^\infty_{n=1} \frac 1 {e^{\sqrt n}}&=\ \underbrace{e^{-\sqrt1}+e^{-\sqrt2}+e^{-\sqrt3}}_{3\text{ terms}} + \underbrace{e^{-\sqrt4}+e^{-\sqrt5}+e^{-\sqrt6}+e^{-\sqrt7}+e^{-\sqrt8}}_{5\text{ terms}} + \underbrace{e^{-\sqrt9}+\cdots + e^{-\sqrt{15}}}_{7\text{ terms}} + \cdots\\ &<\ 3\cdot e^{-\sqrt1}+5\cdot e^{-\sqrt4}+7\cdot e^{-\sqrt9}+\cdots+(2k+1)\cdot e^{-\sqrt{k^2}}+\cdots\\ &=\ 3\cdot e^{-1}+5\cdot e^{-2}+7\cdot e^{-3}+\cdots+(2k+1)\cdot e^{-k}+\cdots\\ &<\ 4\cdot e^{-1}+8\cdot e^{-2}+16\cdot e^{-3}+\cdots2^{k+1}\cdot e^{-k}+\cdots\\ &=\ \frac{4\cdot e^{-1}}{1-\frac{2}{e}}<\infty. \end{divide} $$

Answer 4

El paso

$$\lim_{n\to\infty} \frac {e^{\sqrt n}} {e^{\sqrt {n+1}}}=\lim_{n\to\infty}\frac {e^{\frac n 2}} {e^{\frac {n+1} 2}}$$

desesperadamente necesita justificación.

Desde $$\frac {e^{\sqrt n}} {e^{\sqrt {n+1}}} = e^{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}$$ and $$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n} - \sqrt{n+1} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = 0$$ de hecho, tienes $$\lim_{n \to \infty} \frac{e^{\sqrt n}} {e^{\sqrt {n+1}}} = 1.$$