Cómo cavalier puedo ser cuando exigentes de una categoría tienen directa sumas?

Question

En mi sentido, una suma directa en una categoría que en realidad debería ser llamado un "biproduct". Si $X,Y$ son objetos, a continuación, una suma directa de $X \oplus Y$ es un objeto $Z$ junto con isomorphisms $\hom(Z,A) = \hom(X,A) \times \hom(Y,A)$ $\hom(A,Z) = \hom(A,X) \times \hom(A,Y)$ para todos los objetos de $A$. Una suma directa es única hasta el isomorfismo canónico, si es que existe, por supuesto. Una categoría (finito) directa sumas si tiene un cero de objeto (un objeto que es a la vez inicial y terminal; es decir, "la suma directa de cero de las cosas") y si $X\oplus Y$ existe para los objetos $X,Y$. Si una categoría tiene directa sumas de dinero, entonces es naturalmente enriquecido en abelian monoids. Yo creo que un aditivo categoría es una categoría con directa se suma en la que todos los hom-conjuntos (que ya están abelian monoids) son en realidad abelian grupos.

Hay muchas veces cuando la gente dice "incluir todos los directos de sumas de dinero". Por ejemplo:

Ejemplo:
Deje $\mathcal C$ ser de cualquier categoría (enriqueció a lo largo de $\rm SET$). Entonces puedo hacer que se enriqueció a lo largo de $\rm ABGP$ mediante la aplicación de la $\rm Free: SET \to ABGP$ functor a cada hom-set. Así que ahora tengo un nuevo catefory ${\rm Free}(\mathcal C)$ en el que puedo agregar morfismos. Pero a menudo me quieren agregar objetos, también, así que hago algo así como "tomar la matriz de la categoría" ${\rm Mat}(\mathcal C)$, cuyos objetos son secuencias finitas de objetos en $\mathcal C$ y cuyos morfismos son las matrices de morfismos en ${\rm Free}(\mathcal C)$. Entonces es más o menos obvio que ${\rm Mat}(\mathcal C)$ es un aditivo de la categoría. Si $\mathcal C$ es de libre generado por algunos (y objetos) morfismos, a continuación, ${\rm Mat}(\mathcal C)$ es de suponer que "el libre categoría de aditivo generados por los morfismos".

Pero a menudo no estoy de contenido con conexión categorías de aditivos. Por ejemplo, podría presentar una categoría por generadores y relaciones.

Pregunta: Es claro que cuando me tome el cociente de un aditivo categoría por un ideal (como $\rm ABGP$enriquecido categoría), que todavía tiene directa de productos?

O tal vez realmente quiero que la abelian categoría presentada por generadores y relaciones. O tal vez sólo quiero cada idempotente a split, en cuyo caso podría tomar la Karoubi de la envolvente.

Pregunta: Si extiendo mi categoría para dividir todos los idempotents, o para incluir granos y cokernels, o ..., está claro que todavía tiene directa de productos?

Una muy explícita de la aplicación contenida en estas construcciones es la formación del exterior producto tensor de categorías: si $\mathcal B,\mathcal C$ son categorías de aditivos para, a continuación, $\mathcal B \boxtimes \mathcal C$ libre categoría de aditivo generado por $\mathcal B \times \mathcal C$ con un montón de relaciones.

Answer 1

La respuesta a la primera pregunta es sí. Si a y B tienen una suma directa de Una ⊕ B en C, entonces hay inclusiones yo_Una : A → A ⊕ B, i_B : B → a ⊕ B y proyecciones de p_Una : A ⊕ B → a, p_B : A ⊕ B → B tal que p_Unyo_Un = 1, p_Bi_B = 1, y yo_Unp_Un + i_Bp_B = 1. Por el contrario, la existencia de este tipo de mapas en un Ab-enriquecido categoría de hacer Una ⊕ B una suma directa de a y B, incluso si no nos asssume a priori que a y B tienen una suma directa. Ahora si se forma el cociente C/I por un ideal I, y dos objetos a y B con una suma directa de Una ⊕ B en C, la imagen de este sistema de mapas presenta la imagen de Una ⊕ B como la suma directa de las imágenes de a y B. En breve, directa sumas son absolutos colimits, y como el cociente functor C → C/I es esencialmente surjective (de hecho, bijective en los objetos), cada par de objetos de C/I hereda una suma directa de C.

Answer 2

No creo que su definición de la suma directa es bastante correcto (incluso si se añade a la obvia condición necesaria para que el isomorphisms ser natural). Mi entendimiento es que una suma directa / biproduct es un objeto que es a la vez un producto y un subproducto en forma compatible. Este es generalmente enunciado diciendo que usted tiene co-productos y productos, y la única morfismos $0\to 1$ $X\sqcup Y \to X\times Y$ son isomorphisms. En términos de su definición, creo que esto sería equivalente a decir que se tiene un cero de objeto, y el compuesto isomorfismo $$\hom(Z,Z) \cong \hom(X,X)\times \hom(Y,X)\times \hom(X,Y)\times \hom(Y,Y)$$ se relaciona $1_Z$ $(1_X,0,0,1_Y)$(donde $0$ es el mapa de factoring a través del objeto de cero). Es cierto, pero no (creo) obvio, que si usted tiene productos y co-productos y arbitraria natural de la familia de isomorphisms $X\sqcup Y \cong X\times Y$, entonces usted realmente tiene biproducts. Pero no creo que esto funciona como una definición de un individuo biproduct.

En cuanto a tu pregunta, no tengo una respuesta completa, pero una cosa a tener en cuenta es que en el mundo de categorías que se enriqueció a lo largo de aditivo monoids (o grupos), directa sumas son absolutos (co)límites, también conocido como Cauchy (co)límites. Que significa que se conservan automáticamente por cualquier AbMon enriquecido functor, y por otra parte la 2-categoría de AbMon enriquecido categorías directa sumas que se refleja en el 2-categoría de todos los AbMon enriquecido categorías. Por lo tanto, después de realizar un "libre" o "cociente" o "colimit" la construcción de AbMon enriquecido categorías, siempre se puede aplicar el reflector de añadir ningún directa sumas de dinero que puede ser que falte (y lo directo sumas podría tener ya había ganado no se puede cambiar). En particular, esto proporciona una construcción de un aditivo categoría de "presentados" por cualquier noción de generadores y relaciones: en primer lugar generar el libre AbGp enriquecido categoría, luego se reflejan en categorías de aditivos.

En general, no es obvio para mí que si se añade una estructura adicional libremente (como granos o cokernels), a continuación, aplicar la "Cauchy-la terminación" reflector, que la presencia de la cosa nueva agregó es conservado por el reflector. Pero si no es así, entonces tal vez algún tipo de secuencia de colimit de aproximaciones sucesivas podría llevarse a cabo. Tenga en cuenta que de las otras construcciones que usted ha mencionado, la división de idempotents es también un absoluto (co)límite, por lo que se comporta de manera similar a la directa sumas de dinero, mientras que los núcleos y cokernels no lo son.

Sin embargo, nada de esto realmente responde a la pregunta que en realidad le preguntó, que es si el "libre" construcciones en el mundo de la AbGp de enriquecimiento ya preservar la presencia directa de sumas de dinero, sin la necesidad de Cauchy-completa. Me imagino que en general no, pero no tengo un contraejemplo.

Answer 3

Mi comprensión de la cuestión es distinta a la de Mike. No he encontrado un ejemplo en el Hom-conjuntos de abelian monoids pero no abelian grupos. Me interesaría ver cómo surge.

Voy a asumir que sus Hom-conjuntos de abelian grupos (o módulos sobre un anillo conmutativo) y que la composición es bilineal. A continuación, puede añadir (y restar) morfismos y desea agregar los objetos. Esto se puede hacer formalmente, acaba de formar una nueva categoría de objetos finitos listas de objetos y morfismos son escritos como matrices. Eso es todo; no hay ninguna condición en el Hom-módulos.

Usted también puede querer hacer idempotente finalización. Entonces usted debe aplicar primero la anterior construcción y, a continuación, tomar el idempotente finalización. Esto será tanto aditivo y idempotente completa. Si lo haces de la otra manera alrededor de ella no puede ser idempotente completa; intuitivamente, si $A$ es un álgebra $M_n(A)$ puede tener más idempotents de $n\times n$ diagonal de las matrices con entradas en $A$.