Lugar geométrico de los puntos en los que dos morfismos de esquemas coinciden

Question

Esta pregunta es algo relacionado a una pregunta anterior de la mina, pero apareció en un contexto diferente.

Supongamos que dado dos morfismos de $S$-esquemas $f,g:X \to Y$. Intuitivamente, estoy interesado en el lugar geométrico de los puntos de $X$ en el que estos dos morfismos coinciden. Un esquema del planteamiento que, sería considerar la posibilidad de $Z$ como la retirada de la diagonal $\Delta: Y \to Y\times_S Y$ por los morfismos $(f,g): X \to Y\times_S Y$.

Entonces, por ejemplo, si $Y\to S$ es separado ("Hausdorff"), a continuación, $Z \to X$ es un cerrado de inmersión, lo cual tiene sentido.

También, la composición de $Z \to X$ $f$ $g$ son de la misma (por la conmutatividad del diagrama cartesiano definición de $Z$). Por lo tanto, yo esperaría que el esquema de $Z$ es lo que estoy buscando.

Pero uno también podría tomar un ingenuo, el conjunto teórico, planteamiento (que sabemos que es generalmente inadecuado cuando se trata con los esquemas) y definir el conjunto $A=\{x\in X \mid f(x)=g(x)\}$.

Mi pregunta es: ¿cuál es la relación entre el$Z$$A$?

El más curioso es que $A$ puede estar vacía, sino $Z$ parece estar siempre bien definidos. En este caso (al $A$ está vacía), cómo esta información es "capturado" en el esquema de $Z$?

Answer 1

Para preguntas de este tipo es conveniente tomar el functor de los puntos de vista de los esquemas. Fijar una base esquema de $S$, y deje $h : Z \to X$ ser el gol del empate de $f, g : X \to Y$$\textbf{Sch}_S$. Esto existe desde $\textbf{Sch}_S$ tiene productos de fibra y una terminal de objeto. (De hecho es el retroceso de la diagonal $\Delta_Y : Y \to Y \times_S Y$ a lo largo de $\langle f, g \rangle : X \to Y \times_S Y$, pero hay otras descripciones.) Por la característica universal de sintonizadores, hay un bijection $\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}$ $$\textbf{Sch}_S(T, Z) \cong \{ \bar{x} \in \textbf{Sch}_S(T, X) : f \circ \bar{x} = g \circ \bar{x} \}$$ y esto es natural en $T$. Por lo tanto, el $T$valores de "puntos" de $Z$ son exactamente lo que usted espera que ellos sean. En particular, si $S = T = \Spec k$ es algebraicamente cerrado de campo, y $X$ es un esquema localmente finito de tipo más de $\Spec k$, $k$valores de los puntos de $Z$ son exactamente los puntos cercanos de $X$ que $f$ $g$ está de acuerdo; de hecho, bajo estas hipótesis, el residuo de un campo cerrado en el punto de $X$ está garantizado para ser canónicamente isomorfo a $k$, por lo que existe un natural bijection entre el $\textbf{Sch}_k(\Spec k, X)$ y cerró puntos de $X$. (No estoy seguro de si todos los puntos cercanos de $Z$ $k$valores. Esto al menos parece plausible, ya que es cierto en el caso de que $X$ $Y$ son afines.)

En general, sin embargo, debemos trabajar un poco más duro. Por el general abstracto tonterías, hay un canónica mapa de la "subyacente" puntos de $Z$ para el conjunto de $\{ x \in X : f (x) = g (x) \}$. Es surjective? Deje $x$ ser un punto en $X$ tal que $y = f (x) = g (x)$. Deje $f^\sharp_x, g^\sharp_x : \mathscr{O}_{Y, y} \to \mathscr{O}_{X, x}$ ser inducida por homomorphisms en el local de los anillos, y la forma de la coequaliser $$\mathscr{O}_{Y,y} \rightrightarrows \mathscr{O}_{X,x} \rightarrow B$$ en la categoría de anillos conmutativos. El homomorphism $\mathscr{O}_{X,x} \to B$ está garantizado para ser surjective, por lo que asumiendo $B$ no es trivial anillo, $B$ es un anillo local y $\mathscr{O}_{X,x} \to B$ es un local homomorphism. El residuo campo de $B$ es canónicamente isomorfo a $\kappa (x)$, por lo que obtener un $S$-morfismos $\bar{x} : \Spec \kappa (x) \to X$ tal que $f \circ \bar{x} = g \circ \bar{x}$, y se eleva a una $S$-morfismos $\bar{z} : \Spec \kappa (x) \to Z$; si $z$ es el elemento subyacente de $\bar{z}$, luego tenemos a $h(z) = x$, según se requiera.

Sin embargo, si $B$ es la trivial anillo, todo el infierno se rompe suelto, y que en caso de $x$ es no en el conjunto de la teoría de la imagen de $h : Z \to X$. Para, si $x = h(z)$, entonces no sería un diagrama de local anillos $$\mathscr{O}_{Y,y} \rightrightarrows \mathscr{O}_{X,x} \rightarrow \mathscr{O}_{Z,z}$$ y $h^\sharp_z : \mathscr{O}_{X,x} \to \mathscr{O}_{Z,z}$ factor a través de $\mathscr{O}_{X,x} \to B$ por el universal propiedad de $B$ como coequaliser. Pero, a continuación, $\mathscr{O}_{Z,z} = 0$ – una contradicción.

Esta situación no es imposible tampoco. Por ejemplo, tomar $S = \mathbb{F}_p$, $X = Y = \Spec \overline{\mathbb{F}_p}$, $f = \textrm{id}$, y $g$ el Frobenius $p$-mapa de poder $t \mapsto t^p$. A continuación, el ecualizador de $f, g : X \to Y$ es el vacío esquema, debido a que el coequaliser de la correspondiente homomorphism de los anillos es la trivial anillo.

Answer 2

Si desea volver a un conjunto teórico de producto, la forma de hacerlo es a través functor de puntos. Tenga en cuenta que para el functor de puntos de $X\times_Y X,$ definido por $h_{X\times_Y X}(W)=\operatorname{Hom}_S(W,X\times_Y X)$ cualquier $S$- $W,$ tenemos $h_{X\times_Y X}(W)=\{(f',g')|f':W\to X,g':W\to X, f'\circ f=g'\circ g\}\subseteq h_X(W)\times h_X(W).$

Ejemplos 4.1,2 de la presente nota de visualización de la anatomía patológica de la relación entre los productos de los esquemas y de los productos de su subyacente puntos. Otro ejemplo sencillo es pensar sobre la relación entre el $\Bbb A^1\times_k\Bbb A^1\cong\Bbb A^2$ $\operatorname{Spec}(k)$ y su conjunto subyacente de puntos.