Dejemos que $|x|<1$ y $f(x)=\displaystyle\frac{e^{\frac{1}{1+x}}}{(|x|-1)^{-2}}.$
Es $f(x)$ ¿limitado?
Creo que has querido decir que el denominador es mayor que 1. Pero lo más importante, ¿dices que $e^{\frac{1}{1+x}}$ está acotado en $(-1,1)$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?En primer lugar, hay que tener en cuenta que como esta función es continua en $(-1,1)$ sólo tenemos que comprobar el comportamiento en los puntos finales. A la derecha tenemos $f(1)=0$ pero en $x=-1$ se requiere más trabajo.
Puede ser más fácil ver lo que está pasando si hacemos la sustitución $u=\frac{1}{x+1}$ . Entonces en el denominador obtenemos $$(|x|-1)^{-2}=(-x-1)^{-2}=(x+1)^{-2}=\left(\frac{1}{x+1}\right)^2=u^2$$ cuando $-1<x<0$ . Por lo tanto, tenemos $$\lim_{x\to-1^+} f(x)=\lim_{u\to \infty}\frac{e^u}{u^2}$$ que es más fácil de analizar. La regla de L'Hopital, por ejemplo, muestra que este límite se aproxima $\infty$ . Por lo tanto, $f(x)$ no está acotado para $|x|<1$ .
kryomaxim
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Sí, la función exponencial está acotada en $(-1,1)$ . Lo siento, me he equivocado; ya que $|x| \in (-1,1)$ el denominador $(1-|x|)^{-2}$ es mayor que $0$ pero la expresión $(1-|x|)^2$ (obtenida al convertir el denominador en el numerador) también está acotada.
La función exponencial $e^u$ está acotado para $u \in (-1, 1)$ . Pero si $u = \frac{1}{1+x}$ para $x \in (-1, 1)$ entonces $u \in \left(\frac{1}{2}, \infty\right)$ .
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$f(x)=\displaystyle\frac{e^{\frac{1}{1+x}}}{(|x|-1)^{-2}}$ significa $(|x|-1)^{2} e^{\frac{1}{1+x}}$