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Prueba de la acotación de una función

Dejemos que |x|<1 y f(x)=e11+x(|x|1)2.

Es f(x) ¿limitado?

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f(x)=e11+x(|x|1)2 significa (|x|1)2e11+x

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Matt Puntos 21

En primer lugar, hay que tener en cuenta que como esta función es continua en (1,1) sólo tenemos que comprobar el comportamiento en los puntos finales. A la derecha tenemos f(1)=0 pero en x=1 se requiere más trabajo.

Puede ser más fácil ver lo que está pasando si hacemos la sustitución u=1x+1 . Entonces en el denominador obtenemos (|x|1)2=(x1)2=(x+1)2=(1x+1)2=u2 cuando 1<x<0 . Por lo tanto, tenemos lim que es más fácil de analizar. La regla de L'Hopital, por ejemplo, muestra que este límite se aproxima \infty . Por lo tanto, f(x) no está acotado para |x|<1 .

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kryomaxim Puntos 1880

|f(x)| \leq e^{\frac{1}{1+x}} porque el denominador es menor que 1.

Sólo para x=-1 obtendrá \infty para la función exponencial, pero este valor está excluido. Por lo tanto, f(x) está acotado para |x| < 1 .

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Creo que has querido decir que el denominador es mayor que 1. Pero lo más importante, ¿dices que e^{\frac{1}{1+x}} está acotado en (-1,1) ?

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Sí, la función exponencial está acotada en (-1,1) . Lo siento, me he equivocado; ya que |x| \in (-1,1) el denominador (1-|x|)^{-2} es mayor que 0 pero la expresión (1-|x|)^2 (obtenida al convertir el denominador en el numerador) también está acotada.

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La función exponencial e^u está acotado para u \in (-1, 1) . Pero si u = \frac{1}{1+x} para x \in (-1, 1) entonces u \in \left(\frac{1}{2}, \infty\right) .

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