Prueba de la acotación de una función

Question

Dejemos que $|x|<1$ y $f(x)=\displaystyle\frac{e^{\frac{1}{1+x}}}{(|x|-1)^{-2}}.$

Es $f(x)$ ¿limitado?

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que como esta función es continua en $(-1,1)$ sólo tenemos que comprobar el comportamiento en los puntos finales. A la derecha tenemos $f(1)=0$ pero en $x=-1$ se requiere más trabajo.

Puede ser más fácil ver lo que está pasando si hacemos la sustitución $u=\frac{1}{x+1}$ . Entonces en el denominador obtenemos $$(|x|-1)^{-2}=(-x-1)^{-2}=(x+1)^{-2}=\left(\frac{1}{x+1}\right)^2=u^2$$ cuando $-1<x<0$ . Por lo tanto, tenemos $$\lim_{x\to-1^+} f(x)=\lim_{u\to \infty}\frac{e^u}{u^2}$$ que es más fácil de analizar. La regla de L'Hopital, por ejemplo, muestra que este límite se aproxima $\infty$ . Por lo tanto, $f(x)$ no está acotado para $|x|<1$ .

Answer 2

$|f(x)| \leq e^{\frac{1}{1+x}}$ porque el denominador es menor que 1.

Sólo para $x=-1$ obtendrá $\infty$ para la función exponencial, pero este valor está excluido. Por lo tanto, $f(x)$ está acotado para $|x| < 1$ .