demostrar que $\cos(\theta_{2}-\theta_{3})+\cos(\theta_{3}-\theta_{1})+\cos(\theta_{1}-\theta_{3})+1=0$

Question

Si $$a = \cos\theta_{1} + i\sin\theta_{1}, \\ b = \cos\theta_{2} + i\sin\theta_{2}, \\ c = \cos\theta_{3} + i\sin\theta_{3}$$ y $a+b+c=abc$ , entonces demuestre que

$$\cos(\theta_{2}-\theta_{3})+\cos(\theta_{3}-\theta_{1})+\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+1=0$$

No sé por dónde empezar. Traté de proceder con el Teorema de De Moivre, pero no pude conseguir la ecuación requerida.

Por favor, dame una pista.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sea $\bar{z}$ denota el conjugado complejo de $z$ . Multiplicar $a+b+c = abc$ por $\bar{a}$ , \begin{align*} 1 + \bar{a}b + \bar{a}c = bc \end{align*} S \begin{align*} 1+\bar{b}c+\bar{b}a &= ca\\ 1+\bar{c}a + \bar{c}b & = ab \end{align*} A \begin{align*} 3 + (\bar{a}b +a\bar{b}+ \bar{b}c +b\bar{c}+ \bar{c}a + c\bar{a}) = ab+bc+ca \end{align*} A de $a+b+c = abc$ obtenemos $\bar{a} +\bar{b}+\bar{c} = \bar{a}\bar{b}\bar{c}$ y dividiendo todo por $\bar{a}\bar{b}\bar{c}$ w \begin{align*} bc+ca+ab = 1 \end{align*} Así, \begin{align*} (\bar{a}b +a\bar{b}+ \bar{b}c +b\bar{c}+ \bar{c}a + c\bar{a}) = -2 \end{align*} a \begin{align*} \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3 - \theta_1) + \cos(\theta_1 - \theta_2) + 1 = 0 \end{align*}

Answer 2

No añade mucho, pero es ligeramente más corto: $$ 1 = (abc) (\overline{abc})= (a+b+c)(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) = 3 + \left[ (a\bar{b}+b\bar{a}) + (b\bar{c}+c\bar{b})+ (c\bar{a}+a\bar{c})\right] $$ Así que $$ 0 = 2+ 2 \left( \cos (\theta_2-\theta_1) + \cos (\theta_3-\theta_2)+\cos (\theta_1-\theta_3) \right) $$

Answer 3

Si dividimos $a+b+c = abc$ por $a$ en ambos lados, obtenemos $$ 1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} = bc. $$ Del mismo modo, dividiendo por $b$ y $c$ produce $$ \frac{a}{b} + 1 + \frac{c}{b} = ac $$ $$ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + 1 = ab. $$ Sumando las tres ecuaciones se obtiene $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + 3 = ab+ac+bc. $$ Tenga en cuenta que $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2\cos(\theta_2-\theta_1)$ (compruébelo si no está convencido), y se obtienen igualdades similares para los otros dos pares. Así pues, tenemos $$ 2(\cos(\theta_2-\theta_1)+\cos(\theta_3-\theta_1)+\cos(\theta_3-\theta_2)+1) = ab+ac+bc-1.$$ Ahora basta con demostrar que $ab+ac+bc-1=0$ . Como el LHS de la ecuación anterior es real, basta con demostrar que la parte real de $ab+ac+bc$ es $1$ .

Para cualquier $z\in\mathbb{C}$ tal que $|z|=1$ tenemos que $\text{Re}(z) = \text{Re}(z^{-1})$ . Por lo tanto $\text{Re}(ab) = \text{Re}(1/ab)$ desde $|ab|=|a||b|=1$ y lo mismo con los otros dos términos, por lo que $$\text{Re}(ab+ac+bc) = \text{Re}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right) = \text{Re}\left(\frac{a+b+c}{abc}\right) = \text{Re}(1) = 1$$ como desee.